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Teorema di Cauchy-Kovalevskaya

In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare ed a Sofia Kovalevskaya (1875) in generale.

Primo ordineModifica

Si consideri un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti:

 

in cui   sono analitiche in un intorno del punto   con condizioni iniziali:

 

per il tempo iniziale  , e le   sono analitiche in un intorno del punto   tale che  .

Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.

Si tratta di un risultato di esistenza locale: non assicura cioè che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante. Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente il teorema: con un cambio di variabile   si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano  .

Una dimostrazione si ricava espandendo in serie formale di potenze entrambi i membri della EDP.

Ordine superioreModifica

Se   e   sono analitiche in un intorno dello zero, allora il problema di Cauchy non-lineare:

 

con condizione iniziale:

 

possiede una soluzione unica un intorno dello zero. Ciò segue dal caso di ordine 1 considerando il fatto che la derivata di   nel membro a destra può essere vista come la componente di una funzione vettoriale.

Per esempio, l'equazione del calore:

 

con la condizione:

 

per  , posside un'unica soluzione espandibile in serie formale di potenze attorno al punto  , che tuttavia non converge per tutti i valori di   diversi da 0, e quindi non si hanno soluzioni analitiche in un intorno dell'origine.

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-KashiwaraModifica

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara fornisce una generalizzazione per sistemi lineari di equazioni alle derivate parziali che si deve a Kashiwara (1983). Tale risultato include una formulazione coomologica presentata attraverso il linguaggio dei D-moduli.

Ad esempio, dato  , sia  . Il sistema   possiede una soluzione   se e solo se le condizioni   sono soddisfatte. Per avere una soluzione unica si deve incorporare una condizione iniziale  , dove  .

BibliografiaModifica

  • (EN) L. Bers, F. John, M. Schechter, Partial differential equations, Interscience (1964)
  • (EN) A.V. Bitsadze, Equations of mathematical physics, MIR (1980) (Translated from Russian)
  • (EN) V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, MIR (1984) (Translated from Russian)
  • (EN) R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Partial differential equations, 2, Interscience (1965) (Translated from German)
  • (EN) L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer (1963)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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