Sistema di equazioni lineari

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

Definizione modifica

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite, che può essere scritto nel modo seguente:^[1]^[2]

{\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Il numero $n$ delle incognite è detto anche ordine del sistema.

Se i termini noti $b_{i}$ sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo.

Una $n$ -upla $(x_{1},\dots ,x_{n})$ di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le $m$ equazioni.^[3]

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.^[4]

Forma matriciale modifica

In notazione indiciale il sistema si scrive:

\sum _{j}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}

Definendo i vettori dei coefficienti:

\mathbf {a} _{i}\equiv {\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}

e il vettore degli $m$ termini noti:

\mathbf {b} \equiv {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}

il sistema è equivalente alla combinazione lineare:^[1]

\sum _{i}^{n}a^{i}x_{i}=\mathbf {b}

Definendo $\mathbf {x}$ il vettore delle $n$ incognite:

\mathbf {x} \equiv {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:^[5]

\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} =b_{1}

\cdots

\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} =b_{m}

Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.

Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}

Ora se $A$ è la matrice $m\times n$ dei coefficienti:

A\equiv {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}

di cui in effetti $\mathbf {a} ^{1},\ldots ,\mathbf {a} ^{n}$ sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:

A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b}

Matrice completa modifica

Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:

(A,\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right)

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.

Le matrici $A\$ e $(A,\mathbf {b} )$ sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri $x_{1},\dots ,x_{n}$ sono le incognite, i numeri $a_{ij}$ sono i coefficienti ed i numeri $b_{i}$ i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

Caratteristiche modifica

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.

In generale, un sistema lineare può essere:

Determinato, quando ha una sola soluzione.
Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.

Se il campo $K$ di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine $n$ è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^{n}$ .

Il sistema omogeneo associato modifica

Si consideri l'operazione lineare:

L(\mathbf {x} )=\sum _{i}^{n}x_{i}A^{i}

Il nucleo di $L$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne $A^{1},\ldots ,A^{n}$ . Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di $A$ è pari ad $n$ .

Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di $A$ . La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad $n$ .

Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango $r$ per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione $n-r$ .^[5] Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\rho (A)$ .

Lo spazio delle soluzioni modifica

Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore $\mathbf {b}$ è l'immagine del vettore $\mathbf {x}$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_{A}\colon K^{n}\to K^{m}$ definita nel seguente modo:

L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} \

L'immagine di $L_{A}$ è generata dai vettori dati dalle colonne di $A$ , e quindi $\mathbf {b}$ è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $\mathbf {b}$ , cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di $A$ è uguale allo spazio generato dalle colonne di $(A|\mathbf {b} )$ . In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.

Se esiste una soluzione $\mathbf {x} _{0}$ , ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$ , dove $\mathbf {v}$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:^[6]

A\mathbf {v} =0

Infatti:

A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$ , è quindi il sottospazio affine dato da:

\operatorname {Sol} (A,\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A,\mathbf {0} )

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.^[7] Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice $A$ è $n$ . Altrimenti se il campo $K$ è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di $K^{n}$ , avente come dimensione la nullità $t=n-\operatorname {rk} (A)$ della matrice.

Strumenti per la risoluzione modifica

Dato un sistema lineare nella forma

A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b}

dove $\mathbf {x}$ è il vettore colonna delle incognite, $\mathbf {b}$ è il vettore colonna dei termini noti e $A$ è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:

A^{-1}\cdot \mathbf {b}

dove $A^{-1}$ è l'inversa di $A$ . Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.

Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.

Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.

Il metodo di riduzione modifica

Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero

{\begin{cases}A\mathbf {x} =\mathbf {c} \\B\mathbf {x} =\mathbf {d} \end{cases}}

allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione

m\cdot A\mathbf {x} +n\cdot B\mathbf {x} =m\cdot \mathbf {c} +n\cdot \mathbf {d}

.

dove $m$ e $n$ sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.

Note modifica

^ ^a ^b Lang, p. 61.
^ Hoffman, Kunze, p. 3.
^ Hoffman, Kunze, p. 4.
^ Hoffman, Kunze, p. 6.
^ ^a ^b Lang, p. 176.
^ Lang, p. 177.
^ Lang, p. 178.

Bibliografia modifica

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Kenneth Hoffman e Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1971, ISBN 0-13-536821-9.
F. Odetti e M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.