Utente:AlvaPerez/Alcuni lavori algebrici di Évariste Galois

Introduzione

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Grandi nuove scoperte che virtualmente trasformarono la teoria delle equazioni algebriche sono state svolte dal giovane francese. Egli si interessò in matematica e, per un bel po’ di tempo, lesse i lavori di Legendre, Lagrange e Gauss.

La più importante tra le note e articoli di Évariste Galois pubblicati durante il suo periodo di vita è il memorabile articolo “Sulla teoria dei numeri”. In essa, Galois considerò le congruenze polinomiali della forma

 

senza radici intere. Galois considerò una costruzione che essenzialmente è un’aggiunta al campo di una radice di un’equazione irriducibile e provò alcuni teoremi sui campi finiti. Si analizzino alcuni contenuti dell’articolo di Galois “Memorie sulle condizioni di risolvibilità di equazioni per mezzo di radicali.” Si vedrà che le proprietà di un’equazione possono variare molto in dipendenza dalle quantità a cui essa è collegata.

Nella memoria originale di Galois il gruppo di Galois è definito come un gruppo di sostituzioni sulle radici. Ecco un breve cenno della presentazione originale.

Un lemma preliminare

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Consideriamo un'equazione   priva di radici multiple avente i coefficienti in un campo   di caratteristica 0. Siano   le radici dell'equazione ed indichiamo con   l'insieme delle permutazioni di tali radici. E' possibile determinare una funzione razionale iniettiva

 

In particolare si possono scegliere   elementi del campo  ,   tali che la funzione   sia iniettiva.

La dimostrazione, svolta da Dedekind, è seguita dal seguente richiamo: "Questa proposizione implica che ogni equazione dipende da un’altra equazione ausiliaria di cui tutte le radici sono funzioni razionali di tutte le altre." La funzione   sopra indicata viene chiamata risolvente di Galois.

Osservazione

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Si scelga come valore di   quello corrispondente alla permutazione identica e lo si indichi con   e sia   il suo polinomio minimo. Allora tutte le radici di   hanno la forma  .

Dimostrazione

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Indichiamo con   ,   ,... i valori che assume   quando applichiamo a   tutte le permutazioni  ... e consideriamo

 

Il polinomio   ha i coefficienti in   ed ha la radice  . Dalle proprietà del polinomio minimo segue che  .

Teorema della decomposizione di

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Sia   una funzione iniettiva e sia   definito come nell'osservazione. Allora tutte le radici di   sono funzioni razionali di  .

Dimostrazione

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Introduciamo una variabile   e consideriamo il polinomio

 

dove   è l'insieme di tutte le permutazioni che fissano una radice, ad esempio  . Questo polinomio ha per coefficienti funzioni simmetriche delle altre radici  . Se indichiamo con   le funzioni simmetriche delle radici   e con   le funzioni simmetriche delle sole radici   possiamo utilizzare le relazioni

 

per riscrivere   nelle due variabili  . Indichiamo questo polinomio con  . Abbiamo che vale identicamente   da cui possiamo dedurre che l'equazione   ha la radice  .

Poiché vale anche  , le due equazioni   e   hanno in comune almeno la radice  . Se   è il massimo comun divisore di questi due polinomi, abbiamo  . Per la definizione di massimo comun divisore, gli eventuali altri valori per i quali si annulla vanno ricercati tra   ossia tra i valori che annullano  . Ma se, ad esempio,   necessariamente anche  . Basta riflettere sul modo con il quale è costruito   per comprendere che   si ottiene sostituendo   con   in  .

Se fosse  ,   dovrebbe coincidere con uno dei valori   e dunque la funzione   non sarebbe iniettiva sulle permutazioni. Se   ha la sola radice   si tratta dunque, con il metodo delle divisioni successive, di determinare un polinomio di primo grado nella variabile   a partire da   e da  . Eguagliando a 0 il risultato, si ottiene   nei termini di  . In modo analogo si procede per esprimere le altre radici.

L’importanza del lavoro di Galois consiste nel fatto che egli rivelò profondamente regolarità nuove e profonde sulla teoria delle equazioni. Dopo le sue scoperte, le strutture e gli obiettivi dell’algebra cambiarono radicalmente. La teoria delle equazioni venne rimpiazzata dalla teoria dei campi, teoria dei gruppi e dalla teoria di Galois. Inoltre, realizzò diversi risultati sulle estensioni algebriche di campi. Si può osservare che quindi Galois ha cercato di unire la ricerca delle radici di un polinomio all’estensione di un campo, associando ad ogni polinomio un campo di spezzamento.

Bibliografia

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Andrej Nikolaevič Kolmogorov, A.P. Yushkevich, "Mathematics of the 19th Century"

Irving Kaplansky, "Fields and Rings"

Évariste Galois, "Écrits et mémoires mathématiques d'Évariste Galois"