Polinomio minimo

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

DefinizioneModifica

Matrici quadrateModifica

Data una matrice quadrata   a valori in un certo campo  , si considera l'insieme:

 

di tutti i polinomi che si annullano in  . Questo insieme risulta essere un ideale nell'anello   di tutti i polinomi con coefficienti in  .

L'anello   è un anello euclideo: è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto. Conseguentemente, è un anello ad ideali principali: ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

 

è generato da un elemento  . Tale elemento è unico solo a meno di moltiplicazione per una costante non nulla: è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine   più grande). Si definisce quindi il polinomio minimo di   tale polinomio  .

EndomorfismiModifica

Dato un endomorfismo:

 

di uno spazio vettoriale   su   di dimensione finita, il polinomio minimo   di   è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

 

formato da tutti i polinomi che annullano  . L'endomorfismo   è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

ProprietàModifica

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi.

Polinomio caratteristicoModifica

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se   è il polinomio caratteristico di una matrice   allora  . Quindi   è un elemento dell'ideale  , e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico   si decompone in fattori primi come:

 

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

 

dove:

 

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

TriangolarizzabilitàModifica

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo  .

DiagonalizzabilitàModifica

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo   e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica.

Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo a essa associato ha tutte radici nel campo   di molteplicità uguale a  .

EsempiModifica

Grado unoModifica

Il polinomio minimo di una matrice   ottenuta moltiplicando uno scalare   per la matrice identità   è pari a:

 

D'altra parte, se   è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo  .

DiagonaleModifica

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

 

è

 

mentre il polinomio caratteristico è:

 

Blocco di JordanModifica

Il polinomio minimo di un blocco di Jordan:

 

è:

 

ApplicazioniModifica

DiagonalizzabilitàModifica

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

ProiezioniModifica

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo   tale che:

 

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

 

vale  . Ne segue che   appartiene all'ideale  , ed è quindi diviso dal polinomio minimo   di  . Poiché   ha due radici 0 e 1 di molteplicità 1, anche   ha radici di molteplicità 1, e quindi   è diagonalizzabile.

InvoluzioniModifica

Una involuzione è un endomorfismo   tale che:

 

Analogamente,   è radice del polinomio   che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da  . Quindi   è diagonalizzabile.

BibliografiaModifica

  • (EN) Dummit, D. and Foote, R. Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.
  • (EN) Herstein, I.N., §6.7 in Topics in Algebra, 2nd ed. New York: Wiley, 1975.
  • (EN) Jacobson, N. §3.10 in Basic Algebra I. New York: W. H. Freeman, 1985.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica


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