Polinomio minimo

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

DefinizioneModifica

Matrici quadrateModifica

Data una matrice quadrata   a valori in un certo campo  , si considera l'insieme:

 

di tutti i polinomi che si annullano in  . Questo insieme risulta essere un ideale (detto ideale dei polinomi) nell'anello   di tutti i polinomi con coefficienti in  .

L'anello   è un anello euclideo (è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto) di conseguenza, è un anello ad ideali principali e quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

 

è generato da un elemento  . Tale elemento è unico a meno di moltiplicazione per una costante non nulla ed è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine   con  ). Si definisce quindi il polinomio minimo di   come il polinomio  .

EndomorfismiModifica

Dato un endomorfismo:

 

di uno spazio vettoriale   su   di dimensione finita, il polinomio minimo   di   è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

 

formato da tutti i polinomi che annullano  . L'endomorfismo   è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

ProprietàModifica

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi, infatti, dato uno spazio vettoriale   definito su un campo   e di dimensione  , vi è l'isomorfismo canonico  , dove   è l'insieme delle matrici di ordine   e aventi come entrate elementi del campo  .

Polinomio caratteristicoModifica

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se   è il polinomio caratteristico di una matrice   allora  . Quindi   è un elemento dell'ideale  , e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico   si decompone in fattori primi come:

 

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

 

dove:

 

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

TriangolarizzabilitàModifica

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo  .

DiagonalizzabilitàModifica

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo   e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte radici nel campo   di molteplicità uguale a  .

EsempiModifica

Grado unoModifica

Il polinomio minimo di una matrice   ottenuta moltiplicando uno scalare   per la matrice identità   è pari a:

 

D'altra parte, se   è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo  .

DiagonaleModifica

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

 

è

 

mentre il polinomio caratteristico è:

 

Blocco di JordanModifica

Dato un blocco di Jordan di ordine   relativo all'autovalore  :

 

Il suo polinomio minimo è:

 

ApplicazioniModifica

DiagonalizzabilitàModifica

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

ProiezioniModifica

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo   tale che:

 

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

 

vale  . Ne segue che   appartiene all'ideale  , ed è quindi diviso dal polinomio minimo   di  . Poiché   ha due radici   e   di molteplicità  , anche   ha radici di molteplicità  , e quindi   è diagonalizzabile.

InvoluzioniModifica

Una involuzione è un endomorfismo   tale che:

 

Analogamente,   è radice del polinomio   che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da  . Quindi   è diagonalizzabile.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica


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