Polinomio minimo

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

Definizione

Matrici quadrate

Data una matrice quadrata $A$ a valori in un certo campo $\Bbbk$ , si considera l'insieme:

{\mathcal {I}}_{A}=\{p(x)\in {\mathbb {k}}[x]\ |\ p(A)=0\}

di tutti i polinomi che si annullano in $A$ . Questo insieme risulta essere un ideale (detto ideale dei polinomi) nell'anello $\Bbbk [x]$ di tutti i polinomi con coefficienti in $\Bbbk$ .

L'anello $\Bbbk [x]$ è un anello euclideo (è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto) di conseguenza, è un anello ad ideali principali e quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

{\mathcal {I}}_{A}=(m(x))

è generato da un elemento $m(x)$ . Tale elemento è unico a meno di moltiplicazione per una costante non nulla ed è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine $x^{n}$ con $n=\deg(m(x))$ ). Si definisce quindi il polinomio minimo di $A$ come il polinomio $m(x)$ .

Endomorfismi

Dato un endomorfismo:

T:V\to V

di uno spazio vettoriale $V$ su $\Bbbk$ di dimensione finita, il polinomio minimo $m(x)$ di $T$ è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

{\mathcal {I}}_{f}=\{p(x)\in \Bbbk [x]\ |\ p(T)=0\}

formato da tutti i polinomi che annullano $T$ . L'endomorfismo $p(T)$ è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

Proprietà

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi, infatti, dato uno spazio vettoriale $V$ definito su un campo $\Bbbk$ e di dimensione $n$ , vi è l'isomorfismo canonico $(\operatorname {End} (V),\circ )\cong (M_{n}(\Bbbk ),\cdot )$ , dove $M_{n}(\Bbbk )$ è l'insieme delle matrici di ordine $n$ e aventi come entrate elementi del campo $\Bbbk$ .

Polinomio caratteristico

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se $p$ è il polinomio caratteristico di una matrice $A$ allora $p(A)=0$ . Quindi $p$ è un elemento dell'ideale ${\mathcal {I}}_{A}$ , e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico $p(x)$ si decompone in fattori primi come:

p=p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}}

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

p=p_{1}^{l_{1}}\cdots p_{k}^{l_{k}}

dove:

1\leqslant l_{j}\leqslant i_{j}\ \forall j=1,\ldots ,k

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

Triangolarizzabilità

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo $\Bbbk$ .

Diagonalizzabilità

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo $\Bbbk$ e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte radici nel campo $\Bbbk$ di molteplicità uguale a $1$ .

Esempi

Grado uno

Il polinomio minimo di una matrice $\lambda I$ ottenuta moltiplicando uno scalare $\lambda \neq 0$ per la matrice identità $I$ è pari a:

m(x)=x-\lambda

D'altra parte, se $m$ è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo $\lambda I$ .

Diagonale

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

J={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}

è

m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

mentre il polinomio caratteristico è:

p(x)=(x-1)^{2}(x-2)(x-3)

Blocco di Jordan

Dato un blocco di Jordan di ordine $n$ relativo all'autovalore $\lambda$ :

J={\begin{pmatrix}\lambda &1&\cdots &0\\0&\lambda &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &\lambda \end{pmatrix}}

Il suo polinomio minimo è:

m(x)=(x-\lambda )^{n}

Applicazioni

Diagonalizzabilità

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

Proiezioni

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo $T$ tale che:

T\circ T=T

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

p(x)=x^{2}-x=x(x-1)

vale $p(T)=0$ . Ne segue che $p$ appartiene all'ideale ${\mathcal {I}}_{f}$ , ed è quindi diviso dal polinomio minimo $m$ di $T$ . Poiché $p$ ha due radici $0$ e $1$ di molteplicità $1$ , anche $m$ ha radici di molteplicità $1$ , e quindi $T$ è diagonalizzabile.

Involuzioni

Una involuzione è un endomorfismo $T$ tale che:

T^{2}=\operatorname {id}

Analogamente, $T$ è radice del polinomio $x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da $2$ . Quindi $T$ è diagonalizzabile.

Bibliografia

(EN) David S. Dummit e Richard Foote, Abstract Algebra, 3nd ed, Englewood Cliffs (New Jersey), Prentice-Hall, 2003, ISBN 978-04-71-43334-7.
(EN) Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, 2nd ed, New York, Wiley, 1975, ISBN 978-04-71-01090-6. §6.7
(EN) Nathan Jacobson, Basic Algebra, Mineola (New York), Dover Publications, 2009, ISBN 978-04-86-47189-1. §3.10

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Polinomio minimo, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Polinomio minimo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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