Utente:Andrea And/Sandbox5

Elenco riassuntivo dei principali momenti di inerziaModifica

Massa puntiformeModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Massa puntiforme m a distanza r dall'asse di rotazione.		$I=mr^{2}$	Un massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il teorema degli assi paralleli si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.
Due masse puntiformi, M e m, con massa ridotta $\mu$ e separate da una distanza, x.		$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	—

AstaModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Asta di lunghezza L e massa m (asse di rotazione alla fine dell'asta)		$I_{\mathrm {estrem.} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!$ ^[1]	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione alla fine della piastra, e con h = L e w = 0.
Asta di lunghezza L e massa m		$I_{\mathrm {centrale} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!$ ^[1]	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido.Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con w = L e h = 0.

CerchioModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Cerchio sottile di raggio r e massa m		$I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$	Questo è un caso particolare sia del toro per b = 0 (vedi più in basso), che del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r₁=r₂ e h = 0.

DiscoModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco solido e sottile, di raggio r e massa m		$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!$	Questo è un caso particolare del cilindro solido, con h = 0.

CilindroModifica

Descrizione	Momento di inerzia	Commento
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m	$I=mr^{2}\,\!$ ^[1]	Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). E' un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e r₁=r₂. Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia.
Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ ^[1] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r₁=0. (Nota: in questa immagine gli assi X-Y sono scambiati rispetto agli assi cartesiani standard)
Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno r₁, raggio esterno r₂, lunghezza h e massa m	$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)$ ^[1]^[2] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ o definendo lo spessore normalizzato t_n = t/r e ponendo r = r₂, allora $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	con densità ρ e la stessa geometria $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)$

SferaModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Sfera (cava) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!$ ^[1]	Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di cerchi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).
Sfera (piena) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$ ^[1]	Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r). Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r.

ConoModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Cono circolare retto con raggio r, altezza h e massa m		$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$ ^[3] $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$ ^[3]	—

ToroModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Toro con raggio del tubo (raggio del cerchio rosso) a, distanza dal centro del tubo al centro del toro (raggio del cerchio rosa) b e massa m.		Intorno al diametro: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$ ^[4] Intorno all'asse verticale: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$ ^[4]	—

ElissoideModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Ellissoide (solido) di semiassi a, b, e c, con asse di rotazione a e massa m		$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$	—

PiastraModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m (Asse di rotazione all'estremità della piastra)		$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}\,\!$	—
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m		$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$ ^[1]	—

ParallelepipedoModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m		$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza $s$ : $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ .
Parallelepipedo solido di altezza D, larghezza W, lunghezza L e massa m con asse lungo la diagonale più lunga.		$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Per un cubo di lato $s$ , $I={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ .

Poligono pianoModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Poligono piano con vertici ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ e massa $m$ uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.		$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|(({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n+1})+({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n})+({\vec {P}}_{n}\cdot {\vec {P}}_{n}))}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|}}$	Questa espressione assume che il poligono sia stellato. I vettori ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ sono i vettori posizione dei vertici.

Disco con massa distribuita normalmenteModifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco infinito con massa distribuita normalmente su due assi intorno all'asse di rotazione (per esempio: $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ dove $\rho (x,y)$ è la densità della massa in funzione di x e y).		$I=m(a^{2}+b^{2})\,\!$	—

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Raymond A. Serway, Physics for Scientists e Engineers, second ed., Saunders College Publishing, 1986, p. 202, ISBN 0-03-004534-7.
^ (EN) Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder, su livephysics.com. URL consultato il 31 gennaio 2008.
^ ^a ^b Ferdine P. Beer e E. Russell Johnston, Jr, Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, 1984, p. 911, ISBN 0-07-004389-2.
^ ^a ^b Eric W. Weisstein, Moment of Inertia — Ring, su scienceworld.wolfram.com, Wolfram Research. URL consultato il 25 marzo 2010.

[serway-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Raymond A. Serway, Physics for Scientists e Engineers, second ed., Saunders College Publishing, 1986, p. 202, ISBN 0-03-004534-7.

[2] (EN) Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder, su livephysics.com. URL consultato il 31 gennaio 2008.

[beer-3] Ferdine P. Beer e E. Russell Johnston, Jr, Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, 1984, p. 911, ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_toro-4] Eric W. Weisstein, Moment of Inertia — Ring, su scienceworld.wolfram.com, Wolfram Research. URL consultato il 25 marzo 2010.

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