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Cono

solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti
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Cono

In geometria, il cono è un solido di rotazione che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo intorno a uno dei suoi cateti. L'asse del cono è il cateto intorno a cui il solido è costruito; la base del cono è altresì il cerchio ottenuto dalla rotazione dell'altro cateto. Il vertice del cono è, infine, il punto dell'asse opposto a quello dell'intersezione con la sua base.

L'aggettivo che definisce gli oggetti di natura simile al cono è conico; da esso derivano anche le curve e le figure piane cosiddette coniche, ovvero risultanti dall'intersezione di un piano con un cono.

In matematica un cono può essere considerato come una piramide di base circolare, avente quindi numero infinito di facce oblique.

Illustrazione relativa a articolo intitolato Problemata mathematica... pubblicato sugli Acta Eruditorum nel 1734

Indice

NomenclaturaModifica

 
Cono circolare retto (a sinistra) e cono circolare obliquo (a destra). Nel primo l'apotema è colorato in giallo. Nel secondo, l'altezza   non cade nel centro del cerchio di base, essendo l'asse   non ortogonale. L'apotema è colorato in giallo.

Un cono il cui vertice è tagliato da un piano parallelo alla sua base è detto tronco di cono. Il termine cono viene talvolta esteso a figure più generali:

  • Un cono ellittico è un cono che ha per base un'ellisse. Analogamente, un cono circolare ha come base un cerchio.
  • Un cono obliquo è un cono che non ha l'asse ortogonale alla base. Un cono retto ha l'asse ortogonale.
  • Un cono equilatero è un cono che ha l'apotema equivalente al diametro di base.

Il termine "cono" senza ulteriori specificazioni indica generalmente un cono circolare retto.

FormuleModifica

VolumeModifica

Il volume   di un cono con altezza   e con base di raggio   è   del volume del cilindro che ha le stesse dimensioni. Quindi:

 

Se la base è ellittica di semiassi   e  :

 

Si può calcolare il volume del cono per mezzo del calcolo integrale come il volume del solido ottenuto dalla rotazione di una retta   con coefficiente angolare positivo (per semplicità passante per l'origine degli assi) attorno all'asse delle ascisse. Si ha:

 
 

Essendo   l'angolo acuto formato dalla retta   con l'asse delle ascisse, da considerazioni trigonometriche si ha che:

 

e poiché il coefficiente angolare   è uguale alla tangente goniometrica di  , elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione si ha:

 

da cui si ottiene:

 

Area totale della superficie conicaModifica

L'area totale   di una superficie conica è data dalla somma dell'area della base   con l'area laterale  :

 

dove:

 
 

avendo definito l'apotema   del cono come

 .

Sostituendo nella formula, si ottiene infine:

 
  • In generale, se il cono ha una forma qualunque (cono, piramide, ecc sono casi particolari) di vertice   e equazione polare di base  , la formula per il calcolo della superficie laterale diviene:
     

Centro di massaModifica

Il centro di massa di un cono di densità uniforme è sull'asse, ad altezza  , partendo dalla base.

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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