Lemma di Hensel

In matematica, lemma di Hensel è il nome dato ad alcuni teoremi, equivalenti tra loro, dell'algebra commutativa e della teoria analitica dei numeri, che legano i polinomi a coefficienti in un campo locale o in un anello completo ai polinomi a coefficienti nel suo campo residuo. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del metodo di Newton per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti reali.

Prende nome da Kurt Hensel, che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui numeri p-adici.

Enunciato

Introduzione sulle varie forme?

Sia $A$ un anello commutativo locale, con ideale massimale $M$ , che sia completo rispetto alla topologia $M$ -adica, e sia $K=A/M$ il suo campo residuo; sia $f(X)$ un polinomio monico a coefficienti in $A$ e ${\overline {f}}(X)$ la sua riduzione modulo $M$ . Un caso particolare si ha quando $A$ è un anello di valutazione discreta il cui campo dei quozienti è un campo locale non archimedeo.

A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: ( $f'$ indica la derivata formale di $f$ )^[dove?]

se ${\overline {f}}(X)={\overline {g}}(X){\overline {h}}(X)$ , dove ${\overline {g}}(X)$ e ${\overline {h}}(X)$ sono polinomi coprimi in $K[X]$ , allora esistono polinomi $g(X),h(X)\in A[X]$ tali che $g(X)\equiv {\overline {g}}(X){\bmod {M}}$ , $h(X)\equiv {\overline {h}}(X){\bmod {M}}$ e tali che $f(X)=g(X)h(X)$ ;
dato un elemento $a\in A$ , se $f(a)\equiv 0{\bmod {(}}f'(a))^{2}M$ allora esiste un elemento $b\in A$ tale che $f(b)=0$ e $b\equiv a{\bmod {f}}'(a)M$ ;
se un elemento $a\in A$ è una radice semplice di ${\overline {f}}$ in $K$ (ovvero ${\overline {f}}'(a)\neq 0$ ), allora esiste un elemento $b\in A$ tale che $f(b)=0$ e $b\equiv a{\bmod {M}}$ .

Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.^{[vero anche per completi generici o solo per DVR?]} Un anello in cui questo succede è detto henseliano. Per ogni anello locale $A$ , esiste un anello $A^{h}$ (chiamato henselianizzazione di $A$ ) che è il più piccolo anello contenente $A$ ed henseliano rispetto alla topologia $M$ -adica; in particolare, $A^{h}$ è sempre contenuto nel completamento di $A$ . L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere noetheriano, ridotto, o regolare.^[ref]

Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di aritmetica modulare: essa afferma che, se $f$ è un polinomio a coefficienti in $\mathbb {Z}$ che ammette una radice semplice $a$ modulo $p^{n}$ (cioè se $f(a)\equiv 0{\bmod {p}}^{n}$ e $f'(a)\neq 0{\bmod {p}}^{n}$ ) allora esiste un unico $b$ modulo $p^{n+1}$ tale che $f(b)\equiv 0{\bmod {p}}^{n+1}$ e $b\equiv a{\bmod {p}}^{n}$ . Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui $A$ è l'anello degli interi p-adici: a partire da una soluzione di $f(X)\equiv 0{\bmod {p}}$ , il lemma permette di trovare una successione $\{a_{n}\}$ tale che $f(a_{n})\equiv 0{\bmod {p}}^{n}$ ; la serie $\sum _{n\geq 1}a_{n}p^{n}$ definisce un numero p-adico che è soluzione di $f(X)$ .^{[manca a_0]}

Conseguenze

Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è $f(X)=X^{m}-1$ , le cui radici (in una chiusura algebrica di $A$ ) sono le radici dell'unità. Se la caratteristica del campo residuo $K$ non divide $m$ , allora tutte le eventuali radici di $f$ sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un numero primo $p$ , le ipotesi garantiscono che $m$ e $p$ sono coprimi, e dunque $K$ contiene le radici $m$ -esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche $A$ le contiene.

Considerazioni simili valgono per i polinomi $X^{m}-a$ : questa ha soluzioni in $A$ se e solo se ha soluzioni in $K$ . Ad esempio, se $A=\mathbb {Z} _{p}$ è l'anello degli interi p-adici, l'equazione $X^{2}-a=0$ ha soluzioni in $A$ se e solo se l'equazione $X^{2}\equiv a{\bmod {p}}$ è risolubile, cioè se e solo se $a$ è un residuo quadratico modulo $p$ .