Cerchi di Yff

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Nella geometria del triangolo, cerchi di Yff sono due triplette di cerchi di Johnson (cioè congruenti e intersecantesi in un unico punto) di cui ogni cerchio è tangente a due lati del triangolo. Per il teorema di Johnson inoltre ciascuna tripletta individua anche un cerchio di Johnson-Yff.

Due triplette

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Esistono due tipi di cerchi di Yff:

  • i primi, con centri indicati con Y sono contenuti interamente all'interno del perimetro del triangolo, il loro punto d'incontro è X(55) e il centro del loro cerchio di Johnson-Yff è X(1478);
  • i secondi, concentri indicati con Z sono semplicemente tangenti ai lati o ai loro prolungamenti, il loro punto d'incontro è X(56) e il centro del loro cerchio di Johnson-Yff è X(1479);

noti inoltre, l'inraggio r e il circumraggio R i loro raggi dei cerchi di Yff o Johnson-Yff sono:

 ;  

il rapporto fra i due raggi è: 

per quanto riguarda invece le coordinate trilineari dei centri queste diventano

 
 
 

in cui basta semplicemente cambiare con il raggio ρ omologo.

X(55) è il punto di incontro dei cerchi di Yff di prima specie con coordinate trilineari:

a(s - a) : b(s - b) : c(s - c)[1]

coordinate baricentriche

a2(s - a) : b2(s - b) : c2(s - c)

il punto è anche il centro di omotetia del triangolo tangenziale, del triangolo intangente, ed extangente.

X(56) è il punto di incontro dei cerchi di Yff di prima specie con coordinate trilineari:

a/(s - a) : b/(s - b) : c/(s - c)[1].

coordinate baricentriche

a2/(s - a) : b2/(s - b) : c2/(s - c)

X(1478)

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X(1478) è il centro del cerchio di Johnson-Yff di prima specie che forma con i punti Ya, Yb, Yb, un sistema ortico; le sue coordinate trilineari:

f(A,B,C) : f(B,C,A) : f(C,A,B),

coordinate baricentriche:

(sin α)f(A,B,C) : (sin β)f(B,C,A) : (sin γ)f(C,A,B)

dove f(A,B,C) = 1 + 2 cos B cos C.

X(1479)

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  1. ^ a b S è il semiperimetro

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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