Circumraggio

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In geometria, il circumraggio (indicato sovente con R) è il raggio del circumcerchio di un triangolo, pari alla distanza che separa il circocentro da uno qualsiasi dei suoi vertici.

Più in generale tale nome può designare anche il raggio della circonferenza circoscritta a un poligono ciclico qualsiasi, o della sfera circoscritta ad alcuni poliedri.

Nel triangoloModifica

La lunghezza del circumraggio è data dalla seguente relazione:

 

dove a, b, c sono i lati del triangolo e Δ è la sua area, che può essere calcolata con la formula di Erone.

DimostrazioneModifica

Sia   l'altezza relativa ad   e

 

ricordiamo inoltre che

 
 
 

Sia   il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo   passante per  . I triangoli   e   sono simili quindi vale la relazione

 

ossia

 

e dividendo per 2 ambo i membri segue la tesi.

EsempiModifica

Nel triangolo rettangolo, essendo il circocentro il punto medio dell'ipotenusa i, il circumraggio è pari alla metà di questa

 

Nel triangolo equilatero si ha  

Relazioni con l'inraggioModifica

Il circumraggio è in stretta relazione con l'inraggio r, il raggio della circonferenza inscritta:

 

Inoltre utilizzando il teorema dei seni si ha:

 

Nei poligoni in generaleModifica

Nei quadrilateri ciclici in generale la formula è

 

invece per un poligono regolare di n lati di lunghezza l è

 ;

qui csc denota la funzione cosecante.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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