Anello dei polinomi

In algebra astratta, l'anello dei polinomi costruiti a partire da un certo anello è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in .

Se è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti è dato dall'insieme delle funzioni razionali a coefficienti nel campo dei quozienti di .

DefinizioneModifica

Se   è un anello, si definisce come anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in   l'insieme

 ,

cioè l'insieme delle successioni a valori in   definitivamente nulle. Tale insieme assume la struttura di anello se munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto:

 
 

La seconda operazione è esattamente il prodotto di Cauchy delle due successioni. Tale anello si denota in maniera standard con   e i suoi elementi possono essere rappresentati come

 ,

dove   rappresenta un simbolo formale, che serve solo come "segnaposto" per indicare che il coefficiente   è l' -esimo elemento della successione.

Anello dei polinomi in variabiliModifica

Si può definire l'anello dei polinomi in due variabili a coefficienti nell'anello   induttivamente: essendo   esso stesso un anello, lo si può prendere come l'anello di provenienza dei coefficienti e definire dunque

 

e, per   variabili,

 , con  .

Tale costruzione permette di allargare le proprietà che   ereditava da   fino all' -esima variabile; ad esempio, se   è un dominio, lo sarà anche   e così via.

Gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

 

Rapporti tra e l'anello dei polinomiModifica

Alcune proprietà dell'anello   si trasferiscono all'anello dei polinomi  , mentre altre no; le prime sono significative perché, per induzione, possono poi essere estese agli anelli di polinomi in qualunque numero di variabili. Un esempio è la presenza dell'unità:   è un anello unitario se e solo se lo è  , così come  è un dominio d'integrità se e solo se lo è  : se lo è  , infatti, il prodotto dei due monomi di grado massimo è ancora un monomio non nullo, unico con quel grado; viceversa,   è un sottoanello di  , formato dalle sue costanti, e quindi non può possedere divisori dello zero.

Dal punto di vista della fattorizzazione, se   è un anello a fattorizzazione unica lo è anche   (e quindi anche ogni  ). La dimostrazione procede prima esaminando il caso in cui   è un campo: in questa situazione, è sempre possibile dividere i coefficienti dei monomi di grado massimo, e quindi è possibile la divisione tra polinomi, che rende   un anello euclideo con la valutazione data dal grado del polinomio; bisogna notare tuttavia che   non è un campo, e quindi   non è un anello euclideo: in effetti non è neppure un anello ad ideali principali, in quanto l'ideale   non può essere generato da un singolo elemento. Passando poi ad un anello a fattorizzazione unica   generico, si nota che   è un sottoanello di  , dove   è il campo dei quozienti di  ; la tesi segue quindi dal lemma di Gauss, che afferma che un polinomio primitivo (ovvero il cui massimo comun divisore tra i coefficienti è 1) è irriducibile in   se e solo se è irriducibile in  .

Un'altra importante proprietà che passa all'anello dei polinomi è la noetherianità: se   è un anello noetheriano, lo è anche  . Tale risultato è noto come teorema della base di Hilbert.

BibliografiaModifica

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 9788808162700

Voci correlateModifica

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 18032 · LCCN (ENsh85104701 · GND (DE4175268-5 · BNF (FRcb12270236s (data)
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