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Teorema fondamentale dell'algebra

teorema matematico

Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:

ammette esattamente radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più radici reali.

Indice

StoriaModifica

Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro L'invention en algebre, per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi Arithmetica Philosophica (1608).[1] Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio  . Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.[2]

Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.

Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.

EsempiModifica

Polinomi a coefficienti realiModifica

Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio

 

Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria  . Infatti:

 

Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse   e  .

DimostrazioniModifica

Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.

Dimostrazione basata sullo sviluppo in serie di TaylorModifica

Sia   un polinomio a coefficienti complessi di grado  .

Abbiamo  , quindi esiste   tale che

  per ogni   tale che  .

Il disco chiuso   è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto   in cui   assume il suo minimo valore assoluto in  .

Proviamo che  : sviluppando   in serie di Taylor intorno a   abbiamo

 

dove  ,   è intero e   con  ,

notare che la serie di Taylor è finita poiché   per ogni intero   essendo   un polinomio di grado  . Quindi:

 

dove   per  .

Per ogni   possiamo scegliere   di modo che  , in tal caso quando   allora   quindi per   sufficientemente piccolo avremo

 

pertanto

 

ovvero si è trovato un assurdo.

Dimostrazione basata sull'analisi complessaModifica

Sia   un polinomio complesso, tale che   per ogni   complesso. Allora la funzione

 

è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto  . D'altra parte

 

implica

 

e quindi la funzione   è limitata. Per il teorema di Liouville   è costante, da cui segue che anche   è costante.

Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.

Dimostrazione topologicaModifica

Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante

 

vogliamo dimostrare che esiste un punto   tale che  . A tale scopo possiamo considerare il caso in cui  .

Supponiamo per assurdo che   non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio   parametrizzata da

 

Il polinomio   rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza   in una curva piana parametrizzata  . La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di  , e questo qualunque sia il raggio  . Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di   rispetto all'origine  

Poniamo

 

Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione   sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.

Ora consideriamo il valore di   per due differenti valori di  :

  • per   la curva   è costituita da un unico punto (l'origine) e la sua immagine sarà quindi anch'essa un unico punto che non può essere l'origine. In questo caso evidentemente si ha che  .
  • per   abbastanza grandi affinché si abbia
     
abbiamo che la curva   può essere deformata con continuità nella curva   definita da
 
immagine di   mediante la funzione polinomiale  . Poiché l'indice di questa curva rispetto all'origine è   e per l'invarianza omotopica possiamo dedurre che  .
Per dimostrare questo osserviamo che finché   si trova nella circonferenza   vale la seguente catena di disuguaglianze:
 
 
 
 
 
questo significa che fintanto che   si trova sulla circonferenza di raggio   la distanza che separa il punto   della curva immagine dal punto   è minore di quella che separa il punto   dall'origine, dunque il segmento che congiunge   a   non tocca l'origine per ogni   in   e questo permette di definire una deformazione continua di   in   che non faccia passare la curva per l'origine.

Il fatto che   assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che   non avesse nessuna radice è impossibile.

Campi algebricamente chiusiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Campo algebricamente chiuso.

Si dice che il campo complesso   è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in  , come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi   e   come si può vedere subito considerando i polinomi

 

che non ha radici nel campo   dei razionali, e

 

che non ha radici nel campo   dei reali.

NoteModifica

  1. ^ Il teorema fondamentale dell'algebra (PDF), Università di Pavia. URL consultato il 27 ottobre 2013.
  2. ^ Una breve storia del Teorema Fondamentale dell'Algebra (TFA), Università di Bari. URL consultato il 27 ottobre 2013.

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