Assioma della scelta
L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904[1]. Esso afferma che
Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.
In termini non formali, l'assioma assicura che, quando viene dato un aggregato di insiemi non vuoti si può sempre costruire un nuovo aggregato "scegliendo" un singolo elemento (scelta del rappresentante) da ciascuno dagli insiemi di partenza. Se il numero di insiemi di partenza è finito, l'assioma della scelta non è necessario poiché gli altri assiomi della teoria degli insiemi sono sufficienti a garantire la possibilità di questa scelta; nel caso di un numero infinito di insiemi invece occorre introdurre nella teoria un assioma specifico, l'assioma della scelta appunto.
Può essere enunciato in più modi, uno dei quali è il seguente: dato un insieme I, non vuoto, (aggregato di insiemi) i cui elementi sono a lor volta insiemi non vuoti, è possibile scegliere un elemento per ogni insieme e considerarlo come un rappresentante dell’insieme stesso e costruire con questi rappresentanti un nuovo insieme II, da sostituire ad I.
È chiaro che, se I è un insieme finito, i cui elementi sono insiemi finiti, l’assioma di Zermelo si riduce ad una affermazione banale; ma ben altra è la sua portata se I è un insieme infinito e se i suoi elementi sono, a lor volta, insiemi infiniti: la possibilità pratica delle infinite scelte, ovviamente, va esclusa, e si tratta quindi di stabilire se è accettabile sul piano logico la possibilità di pensare a tali infinite scelte, immaginando un processo illimitatamente iterato; l’atteggiamento più comune è quello di chiedersi se l’assioma delle infinite scelte è una proposizione vera o falsa e, nel primo caso accettarla, mentre nel secondo respingerla.
Rileggendo l'enunciato dell'assioma delle scelte, si comprende facilmente che se l'aggregato I è bene ordinato, allora l'assioma è logicamente valido. Invero, la scelta del rappresentante per ogni insieme dell'aggregato è in tal caso, possibile, adottando un unico criterio di scelta e non più un'infinità di scelte; basta infatti scegliere in ogni insieme dell'aggregato sempre il primo elemento (la cui esistenza è assicurata dal buon ordinamento dell'insieme).
Consideriamo questa proposizione come un assioma che si può enunciare, ma non dimostrare in termini logici, ma che è utile, sebbene non indispensabile, in molti campi della matematica.
Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è quello di Bertrand Russell: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini (supponendo che il destro e il sinistro non siano distinguibili), e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Per poter dire che un tale insieme comunque esiste bisogna invocare l'assioma della scelta.
L'assioma della scelta viene talvolta indicato con l'acronimo AC (dall'inglese Axiom of Choice), soprattutto nell'ambito della logica matematica.
Il ruolo nella matematica contemporaneaModifica
Nella matematica contemporanea l'assioma della scelta ha molte importanti conseguenze in tutti i rami e ciò ha senz'altro contribuito a far sì che fosse diffusamente accettato.
Alcuni risultati per i quali è indispensabile l'assioma della scelta:
- Ogni spazio vettoriale non nullo ammette una base
- Ogni funzione suriettiva ha un'inversa destra
- Ogni campo ammette una chiusura algebrica, unica a meno di isomorfismi.
- Ogni anello unitario ammette ideali massimali
- Il teorema di compattezza per la logica dei predicati
- Il teorema di Hahn-Banach
- Il teorema di Tichonov
Se da un lato l'assioma della scelta consente di dimostrare dei risultati importanti, dall'altro porta anche alla costruzione di oggetti matematici controintuitivi, come insiemi non misurabili (vedi l'insieme di Vitali) o come partizioni finite della sfera che riassemblate opportunamente diventano due sfere ciascuna con raggio uguale a quello della sfera di partenza (vedi il paradosso di Banach-Tarski).
Enunciati equivalenti all'assioma della sceltaModifica
Esistono molte altre formulazioni che si possono dimostrare equivalenti all'assioma della scelta: vale a dire che accettando come assiomi una qualunque di esse si può dimostrare AC, e viceversa che accettando AC esse sono tutte dimostrabili. Le più comuni tra esse sono
- Lemma di Zorn
- Teorema del buon ordinamento: su ogni insieme si può definire un buon ordinamento.
- Assioma moltiplicativo: il prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi non vuoti è non vuoto.
- Teorema di Hartogs: la relazione d'ordine standard sui cardinali è totale.
Consistenza e indipendenza dagli altri assiomiModifica
Nel 1938 Kurt Gödel ha dimostrato che se il sistema assiomatico di Zermelo - Fraenkel (noto anche con l'acronimo ZF) è consistente allora rimane consistente anche con l'aggiunta dell'assioma della scelta. Il risultato di Gödel è stato ottenuto costruendo un modello per la teoria degli insiemi in cui l'assioma della scelta era valido (il modello è noto come "universo degli insiemi costruibili"). Tuttavia l'assioma della scelta non si può dimostrare a partire dagli altri assiomi, come è stato dimostrato da Cohen nel 1963. La dimostrazione di Cohen si basa sulla costruzione di un modello alternativo alla teoria degli insiemi mediante la tecnica del forcing: nel modello di Cohen tutti gli assiomi di ZF sono veri e l'assioma della scelta è falso.
NoteModifica
- ^ Ernst Zermelo, Neuer Beweis, dass jede Menge Wohlordnung werden kann (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe), in Mathematische Annalen, vol. 59, 1904, pp. 514–516.
Voci correlateModifica
Altri progettiModifica
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Collegamenti esterniModifica
- math.vanderbilt.edu, http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html.
- The Axiom of Choice, su Stanford Encyclopedia of Philosophy, 9 gennaio 2008. URL consultato il 23 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 14 marzo 2015).
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