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Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo e un vettore intero non negativo di norma uno () uguale a , il coefficiente multinomiale è definito come

ed è sempre un numero naturale.

( è il simbolo della produttoria).

Indice

Teorema multinomialeModifica

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

 

ovvero

 

dove   indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a  .

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

 

con le norme unitarie:

 
 

e:

 

ApplicazioniModifica

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi   oggetti in   scatole, tali che   oggetti stiano nella prima scatola,   nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di   oggetti, di cui   uguali tra loro,   uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi   essere uguale a  , e avendosi così  .

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

 

una variabile casuale discreta.

EsempioModifica

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

 

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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