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In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.[1]

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo  . Sia l'insieme   di elementi di   una base ordinata di  . Allora ogni vettore   si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

 

Si definisce l'insieme delle coordinate di   rispetto alla base data il vettore:[1]

 

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere  , e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che   è scritto rispetto alla base   si usa spesso la notazione  .

La mappa   che associa ad ogni vettore   le sue coordinate   rispetto a   è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva,[2] la cui trasformazione inversa   è data da:

 

Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di   rispetto a  .

Cambiamento di coordinateModifica

Siano   e   due basi diverse di  . Siano   i vettori che compongono la base  .

Si denoti con   la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori   rispetto ai vettori della base  :

 

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da   a  . Si ha allora:[3]

 

In particolare, la matrice   è la matrice associata all'identità rispetto alle basi   e  .

NoteModifica

  1. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 49
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 51
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 52

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlateModifica