Sia
(
X
,
Y
,
⟨
,
⟩
)
{\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}
coppia duale , cioè una tripla formata da due spazi vettoriali
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
numeri reali o complessi ), e da una forma bilineare
⟨
,
⟩
:
X
×
Y
→
F
{\displaystyle \langle ,\rangle :X\times Y\to \mathbb {F} }
∀
x
∈
X
∖
{
0
}
∃
y
∈
Y
:
⟨
x
,
y
⟩
≠
0
{\displaystyle \forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0}
∀
y
∈
Y
∖
{
0
}
∃
x
∈
X
:
⟨
x
,
y
⟩
≠
0
{\displaystyle \forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0}
Un insieme
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
insieme limitato in
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
{
⟨
x
,
y
⟩
;
x
∈
A
}
{\displaystyle \{\langle x,y\rangle ;x\in A\}}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
⟩
|
<
∞
∀
y
∈
Y
{\displaystyle \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |<\infty \qquad \forall y\in Y}
Tale condizione è equivalente alla richiesta che l'insieme polare
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
A
{\displaystyle A}
Y
{\displaystyle Y}
A
∘
=
{
y
∈
Y
:
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
1
}
{\displaystyle A^{\circ }=\{y\in Y:\,\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}
sia un insieme assorbente in
Y
{\displaystyle Y}
⋃
λ
∈
F
λ
⋅
A
∘
=
Y
{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in {\mathbb {F} }}\lambda \cdot A^{\circ }=Y}
Sia ora
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Ogni punto
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
∀
x
∈
X
∃
A
∈
A
:
x
∈
A
{\displaystyle \forall x\in X\,\exists A\in {\mathcal {A}}:x\in A}
Ogni coppia di insiemi
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
C
∈
A
{\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}
∀
A
,
B
∈
A
∃
C
∈
A
:
A
∪
B
⊆
C
{\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {A}}\,\exists C\in {\mathcal {A}}:A\cup B\subseteq C}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
λ
⋅
A
∈
A
∀
A
∈
A
∀
λ
∈
F
{\displaystyle \lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\quad \forall \lambda \in {\mathbb {F} }}
Allora la seminorma :
‖
y
‖
A
=
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
⟩
|
A
∈
A
{\displaystyle \|y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\qquad A\in {\mathcal {A}}}
definisce una topologia di Hausdorff localmente convessa su
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
U
B
=
{
x
∈
V
:
‖
φ
‖
B
<
1
}
B
∈
B
{\displaystyle U_{B}=\{x\in V:\quad \|\varphi \|_{B}<1\}\qquad B\in {\mathcal {B}}}
formano una base locale di questa topologia. Una rete di elementi
y
i
∈
Y
{\displaystyle y_{i}\in Y}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
‖
y
i
−
y
‖
A
=
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
i
⟩
−
⟨
x
,
y
⟩
|
⟶
i
→
∞
0
∀
A
∈
A
{\displaystyle \|y_{i}-y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y_{i}\rangle -\langle x,y\rangle |{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}}
A causa di ciò, la topologia polare è spesso detta topologia della convergenza uniforme degli insiemi di
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
‖
y
‖
A
{\displaystyle \|y\|_{A}}
gauge dell'insieme polare
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
