Costanti di Stieltjes

Costanti di Stieltjes
Simbolo
Origine del nome Thomas Joannes Stieltjes
Campo numeri reali
Costanti correlate Costante di Eulero-Mascheroni

In matematica, le costanti di Stieltjes sono i coefficienti che compaiono nell'espansione in serie di Laurent della funzione zeta di Riemann:

L'area della regione blu converge alla costante di Eulero-Mascheroni, che è la 0-esima costante di Stieltjes.

La costante è più nota come costante di Eulero-Mascheroni.

RappresentazioniModifica

Le costanti di Stieltjes sono date dal limite

 

nel caso  , nella prima sommatoria compare  , che si pone uguale a 1.

La formula di Cauchy fornisce una rappresentazione integrale

 

Altre rappresentazioni in termini di serie e integrali compaiono nei lavori di Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanujan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine e altri autori.[1][2][3][4][5][6][7][8] In particolare, la formula integrale di Jensen-Franel, spesso attribuita erroneamente a Ainsworth e Howell, afferma che

 

dove   è la delta di Kronecker.[5][7] Inoltre, si hanno le seguenti identità[1][5][9]

 
 

Per quanto riguarda le rappresentazioni in serie, nel 1912 Hardy[10] trovò la seguente serie in cui compare la parte intera di un logaritmo,

 

Israilov[11] scoprì una serie semiconvergente in termini dei numeri di Bernoulli  

 

Connon,[12] Blagouchine[7] e Coppo[1] fornirono invece molte serie che coinvolgono i coefficienti binomiali

 

dove   sono i coefficienti di Gregory, anche conosciuti come numeri logaritmici reciproci[13] ( ,  ,  ,  ,... ). Oloa e Tauraso[14] mostrarono che certe serie con i numeri armonici conducono alle costanti di Stieltjes

 

Blagouchine[7] ottenne una serie lentamente convergente in cui compaiono i numeri di Stirling del primo tipo senza segno  

 

insieme a una serie semiconvergente con solo termini razionali

 

dove  . In particolare, la serie per la prima costante di Stieltjes ha una forma sorprendentemente semplice

 

dove   è l' -esimo numero armonico.[7] Delle serie molto più complicate sono fornite negli scritti di Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey.[2][3][7]

Stime e andamento asintoticoModifica

Le costanti di Stieltjes in valore assoluto soddisfano il seguente maggiorante

 

scoperto da Berndt nel 1972.[15] Migliori stime in termini di funzioni elementari furono ottenute da Lavrik[16]

 

e da Israilov[11]

 

con   e  ,  ,...; da Nan-You e Williams[17]

 

e inoltre da Blagouchine[7]

 

dove   sono i numeri di Bernoulli. Infine si ha la seguente stima di Matsuoka[18][19]

 

Per quanto riguarda le stime per mezzo di funzioni non elementari e loro soluzioni, Knessl, Coffey[20] and Fekih-Ahmed[21] ottennero dei risultati abbastanza precisi. Per esempio, Knessl e Coffey fornirono la seguente formula che approssima le costanti di Stieltjes relativamente bene per   grande.[20] Se   è la soluzione unica di

 

con  , e se  , allora

 

dove

 
 
 
 

Fino a  , l'approssimazione di Knessl-Coffey ha predetto correttamente il segno di  , con la singola eccezione di  .[20]

Valori numericiModifica

I primi valori di   sono:

  valore approssimato di   OEIS
0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620
1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633
2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279
3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280
4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281
5 +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282
6 −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141
7 −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167
8 −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206
9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853
10 +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854
100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000 +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

Per   grande, le costanti di Stieltjes crescono rapidamente in valore assoluto, e cambiano segno con uno schema molto complesso.

Si possono trovare ulteriori informazioni sulla valutazione numerica delle costanti di Stieltjes nei lavori di Keiper,[22] Kreminski,[23] Plouffe[24] e Johansson.[25] L'ultimo autore ha dato i valori delle costanti di Stieltjes fino a  , ciascuna precisa alla 10000ª cifra. I valori numeri si possono trovare anche in LMFDB [26].

Costanti di Stieltjes generalizzateModifica

Informazioni generaliModifica

Più in generale, si possono definire le costanti di Stieltjes   che compaiono nella serie di Laurent della funzione zeta di Hurwitz:

 

dove   è un numero complesso con  . Dal momento che la funzione zeta di Hurwitz è una generalizzazione della funzione zeta di Riemann, si ha che  . La costante con   è semplicemente la funzione digamma  ,[27] mentre non si sa se anche le altre costanti sono riconducibili a una funzione elementare o classica dell'analisi. A ogni modo, esistono numerose rappresentazioni per queste costanti. Per esempio, esiste la seguente rappresentazione asintotica

 

dovuta a Berndt e Wilton. L'analoga per le costanti di Stieltjes generalizzate della formula di Jensen-Franel è la formula di Hermite[5]

 

Le costanti di Stieltjes generalizzate soddisfano la seguente relazione ricorsiva

 

come anche il teorema di moltiplicazione

 

dove   indica il coefficiente binomiale.[28][29]

Prima costante di Stieltjes generalizzataModifica

La prima costante di Stieltjes generalizzata possiede un bel numero di proprietà notevoli.

  • Identità di Malmsten (formula di riflessione per la prima costante generalizzata): la formula di riflessione per la prima costante di Stieltjes generalizzata è la seguente
 

dove   e   sono due interi positivi tali che  . Questa formula è stata attribuita per lungo tempo a Almkvist e Meurman, che la derivarono negli anni '90.[30] Tuttavia, si è recentemente scoperto che l'identità, sebbene in una forma leggermente diversa, fu per la prima volta ottenuta da Carl Malmsten nel 1846.[5][31]

  • Teorema degli argomenti razionali: la prima costante di Stieltjes generalizzata può essere calcolata nei numeri razionali in forma quasi-chiusa attraverso la seguente formula[5][27]
 

Una dimostrazione alternativa fu successivamente proposta da Coffey[32] e molti altri autori.

  • Somme finite: esistono molte sommatorie che riguardano la prima costante di Stieltjes generalizzata. Per esempio:
 

Per ulteriori dettagli e sommatorie, vedere[5][29].

  • Alcuni valori particolari: Alcuni particolari valori di   con   razionale si possono ricondurre alla funzione gamma, alla prima costante di Stieltjes e a qualche funzione elementare. Per esempio,
 

I valori della prima costante di Stieltjes generalizzata nei punti  ,   e  furono ottenuti indipendentemente da Connon[33] e Blagouchine[29]

 

Nei punti  ,   e  

 

Questi valori sono stati calcolati da Blagouchine.[29] Sono dovute allo stesso autore anche le seguenti identità

 

Seconda costante di Stieltjes generalizzataModifica

La seconda costante di Stieltjes generalizzata è molto meno studiata della prima. Similmente alla prima, si possono calcolare i valori di   con   razionale e   attraverso la seguente formula[5]

 

Un risultato equivalente fu ottenuto successivamente da Coffey per mezzo di un altro metodo.[32]

NoteModifica

  1. ^ a b c Marc-Antoine Coppo. Nouvelles expressions des constantes de Stieltjes. Expositiones Mathematicae, vol. 17, pp. 349-358, 1999.
  2. ^ a b Mark W. Coffey. Series representations for the Stieltjes constants, arXiv:0905.1111
  3. ^ a b (EN) Mark W. Coffey, Addison-type series representation for the Stieltjes constants, in Journal of Number Theory, vol. 130, n. 9, 1º settembre 2010, pp. 2049–2064, DOI:10.1016/j.jnt.2010.01.003. URL consultato il 13 settembre 2022.
  4. ^ Junesang Choi. Certain integral representations of Stieltjes constants, Journal of Inequalities and Applications, 2013:532, pp. 1-10
  5. ^ a b c d e f g h (EN) Iaroslav V. Blagouchine, A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations, in Journal of Number Theory, vol. 148, 1º marzo 2015, pp. 537–592, DOI:10.1016/j.jnt.2014.08.009. URL consultato il 13 settembre 2022.
  6. ^ Iaroslav V. Blagouchine, A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations, in Journal of Number Theory, vol. 151, 2015-06, pp. 276–277, DOI:10.1016/J.JNT.2015.01.001. URL consultato il 13 settembre 2022.
  7. ^ a b c d e f g (EN) Iaroslav V. Blagouchine, Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π−2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only, in Journal of Number Theory, vol. 158, 1º gennaio 2016, pp. 365–396, DOI:10.1016/j.jnt.2015.06.012. URL consultato il 13 settembre 2022.
  8. ^ Iaroslav V. Blagouchine, Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in $\pi^{-2}$ and into the formal enveloping series with rational coefficients only, in Journal of Number Theory, vol. 173, 2017-04, pp. 631–632, DOI:10.1016/J.JNT.2016.11.002. URL consultato il 13 settembre 2022.
  9. ^ (EN) calculus - A couple of definite integrals related to Stieltjes constants, su Mathematics Stack Exchange. URL consultato il 13 settembre 2022.
  10. ^ G. H. Hardy. Note on Dr. Vacca's series for γ, Q. J. Pure Appl. Math. 43, pp. 215–216, 2012.
  11. ^ a b M. I. Israilov. On the Laurent decomposition of Riemann's zeta function [in Russian]. Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 158, pp. 98-103, 1981.
  12. ^ Donal F. Connon, Some applications of the Stieltjes constants, in arXiv:0901.2083 [math], 14 gennaio 2009. URL consultato il 13 settembre 2022.
  13. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Logarithmic Number, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 13 settembre 2022.
  14. ^ (EN) calculus - A closed form of the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^2-(\gamma + \ln n)^2}{n}$, su Mathematics Stack Exchange. URL consultato il 13 settembre 2022.
  15. ^ Bruce C. Berndt. On the Hurwitz Zeta-function. Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 2, no. 1, pp. 151-157, 1972.
  16. ^ A. F. Lavrik. On the main term of the divisor's problem and the power series of the Riemann's zeta function in a neighbourhood of its pole (in Russian).Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 142, pp. 165-173, 1976.
  17. ^ Z. Nan-You and K. S. Williams. Some results on the generalized Stieltjes constants. Analysis, vol. 14, pp. 147-162, 1994.
  18. ^ Y. Matsuoka. Generalized Euler constants associated with the Riemann zeta function. Number Theory and Combinatorics: Japan 1984, World Scientific, Singapore, pp. 279-295, 1985
  19. ^ Y. Matsuoka. On the power series coefficients of the Riemann zeta function. Tokyo Journal of Mathematics, vol. 12, no. 1, pp. 49-58, 1989.
  20. ^ a b c Charles Knessl e Mark W. Coffey. An effective asymptotic formula for the Stieltjes constants. Math. Comp., vol. 80, no. 273, pp. 379-386, 2011.
  21. ^ Lazhar Fekih-Ahmed, A New Effective Asymptotic Formula for the Stieltjes Constants, in arXiv:1407.5567 [math], 28 dicembre 2014. URL consultato il 13 settembre 2022.
  22. ^ J.B. Keiper. Power series expansions of Riemann ζ-function. Math. Comp., vol. 58, no. 198, pp. 765-773, 1992.
  23. ^ Rick Kreminski. Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes generalized Euler constants. Math. Comp., vol. 72, no. 243, pp. 1379-1397, 2003.
  24. ^ Simon Plouffe. Stieltjes Constants, from 0 to 78, 256 digits each
  25. ^ Fredrik Johansson. Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives, arXiv:1309.2877
  26. ^ LMFDB - Stieltjes Constants, su beta.lmfdb.org. URL consultato il 13 settembre 2022.
  27. ^ a b (EN) real analysis - Integral $ \int_0^1 \frac{\ln \ln (1/x)}{1+x^{2p}} dx$...Definite Integral, su Mathematics Stack Exchange. URL consultato il 13 settembre 2022.
  28. ^ Donal F. Connon, New proofs of the duplication and multiplication formulae for the gamma and the Barnes double gamma functions, in arXiv:0903.4539 [math], 26 marzo 2009. URL consultato il 13 settembre 2022.
  29. ^ a b c d (EN) Iaroslav V. Blagouchine, Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results, in The Ramanujan Journal, vol. 35, n. 1, 1º ottobre 2014, pp. 21–110, DOI:10.1007/s11139-013-9528-5. URL consultato il 13 settembre 2022.
  30. ^ V. Adamchik. A class of logarithmic integrals. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 1-8, 1997.
  31. ^ (EN) calculus - Evaluating $\int_0^1 \log \log \left(\frac{1}{x}\right) \frac{dx}{1+x^2}$, su Mathematics Stack Exchange. URL consultato il 13 settembre 2022.
  32. ^ a b Mark W. Coffey, Functional equations for the Stieltjes constants, in arXiv:1402.3746 [math], 16 maggio 2014. URL consultato il 13 settembre 2022.
  33. ^ Donal F. Connon, The difference between two Stieltjes constants, in arXiv:0906.0277 [math], 1º giugno 2009. URL consultato il 13 settembre 2022.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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