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In analisi matematica, la derivata direzionale è uno strumento che generalizza il concetto di derivata parziale di una funzione in più variabili estendendolo a una qualsiasi direzione, individuata da un vettore nell'origine. In geometria differenziale la derivata direzionale è generalizzata ad una varietà differenziabile tramite il concetto di derivata covariante.

Indice

DefinizioneModifica

La derivata direzionale di una funzione scalare   lungo un vettore unitario   è definita dal limite:

 

In ogni punto  , la derivata direzionale   rappresenta la variazione di   lungo  .

Ad esempio, si consideri una funzione di due variabili  , con   un insieme aperto. Dato un vettore  , la derivata direzionale di   lungo  , nel punto  , è data da:

 

ed esiste se il limite è finito.

Se la funzione   è differenziabile in  , allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore   e si ha:[1]

 

dove   al secondo membro rappresenta il gradiente, e   il prodotto scalare euclideo.

Geometria differenzialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Generalizzazioni della derivata e Derivata covariante.

Si può estendere il concetto di derivata direzionale presente nell'ordinario spazio euclideo ad una varietà differenziabile arbitraria tramite la derivata covariante, che consente di calcolare la derivata di un campo vettoriale, o di un più generale campo tensoriale, in un punto della varietà lungo una direzione fissata.

Sia   una varietà differenziabile e   un punto di  . Sia inoltre   una funzione definita in un intorno di   e differenziabile in  . Se   è un vettore tangente   in   e   è una curva differenziabile tale che   e  , allora la derivata direzionale di   nella direzione  , spesso denotata con  , è definita come:

 

Tale relazione è il punto di partenza anche per le definizioni di derivata di Lie e derivata esterna, centrali in geometria differenziale e topologia differenziale.

La nozione di derivata covariante è essenzialmente equivalente a quella di connessione: su una varietà differenziabile è possibile scegliere fra una infinità di possibili connessioni, e quindi di possibili nozioni di derivata covariante. Attraverso di essa, in fisica, si definiscono vari tensori che misurano la curvatura di una varietà, come il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci.

Meccanica del continuoModifica

Molti importanti risultati della meccanica del continuo sono espressi tramite il concetto di derivata di vettori rispetto a vettori, e di tensori rispetto a vettori e tensori.[2]

Funzione scalare di vettoriModifica

Sia   una funzione reale di  . La derivata di   rispetto a   (o in  ) nella direzione   è definita come:

 

e gode delle seguenti proprietà:

  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 

Funzione vettoriale di vettoriModifica

Sia   una funzione vettoriale di  . Allora la derivata di   rispetto a   (o in  ) nella direzione   è il vettore:

 

e gode delle seguenti proprietà:

  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 

Funzione scalare di tensori di ordine 2Modifica

Sia   una funzione reale di un tensore del secondo ordine  . Allora la derivata di   rispetto a   (o in  ) nella direzione   è il tensore del secondo ordine:

 

per ogni tensore del secondo ordine  , e gode delle seguenti proprietà:

  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 
  • Se   allora  

Funzione tensoriale di tensori di ordine 2Modifica

Sia   una funzione che mappa tensori del secondo ordine   in tensori del secondo ordine. Allora la derivata di   rispetto a   (o in  ) nella direzione   è il tensore del quarto ordine:

 

per ogni tensore del secondo ordine  , e gode delle seguenti proprietà:

  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 
  • Se   allora:
 

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 219.
  2. ^ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • (EN) F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, 1976, ISBN 0-13-011189-9.
  • (EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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