Diffusività di materia

Nel fenomeno fisico della diffusione molecolare, la diffusività di materia è il potenziale scalare della velocità delle particelle nel mezzo all'interno del quale esse si trovano.

Definizione

La diffusività è definita come l'opposto dell'antigradiente della velocità (è cioè legata alla velocità come l'energia potenziale è legata alla forza)

${\mathcal {D}}_{m}(x,y,z)=-\nabla ^{-1}\mathbf {v} (x,y,z)$

Come tutte le diffusività, ha le dimensioni di $\left[L^{2}\cdot t^{-1}\right]$. Nel caso di moto browniano il campo di velocità è isotropo, cioè la particella tende a muoversi senza direzioni preferenziali ovunque si trovi. Se la velocità è uniforme il coefficiente di diffusione diventa una costante nelle coordinate spaziali:

$\nabla ^{2}{\mathcal {D}}_{m}=0,$

questa condizione viene rappresentata da un'equazione di Laplace: la diffusività è armonica.

Proprietà

La diffusività risulta sperimentalmente:

• direttamente proporzionale alla energia cinetica della particella;
• inversamente proporzionale all'ingombro della particella (e quindi al suo raggio);
• inversamente proporzionale alla viscosità del mezzo.

Per tenere conto di queste ed altre proprietà si utilizza come modello la relazione di Stokes-Einstein:

${\mathcal {D}}_{m}={\frac {kT}{6\pi r\mu }}$

dove:

• kT: proporzionale alla energia cinetica
• r: raggio della particella
• μ: viscosità del mezzo, $\left[\mu \right]=\left[M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}\right]$

Applicazione

La diffusività materiale viene introdotta per comodità nel calcolo della corrente diffusa:

$J=-{\mathcal {D}}_{m}\cdot {\frac {\Delta C}{\Delta x}}$

dove ΔC è la differenza di concentrazione e Δx è la lunghezza del tratto che si considera. ΔC/Δx corrisponde nella versione esatta al gradiente spaziale della concentrazione.

Dipendenza dalla temperatura e dalla densità

Dipendenza dalla temperatura

Con margini di errore generalmente accettabili vale la relazione:

${\mathcal {D}}_{m}={\mathcal {D}}_{m0}\cdot e^{-{\frac {\Delta E^{\ddagger }}{R\cdot T}}},$

dove:

• $\,{\mathcal {D}}_{m}$ è il coefficiente di diffusione di materia;
• $\,{\mathcal {D}}_{m0}$ è il coefficiente massimo di diffusione (a temperatura infinita);
• $\,\Delta E^{\ddagger }$ è l'energia di attivazione per la diffusione;
• $\,T$ è la temperatura assoluta;
• $\,R$ è la costante dei gas.

Un'equazione in questa forma è conosciuta come equazione di Arrhenius.

Dipendenza dalla densità

Tipicamente la diffusione è inversamente proporzionale alla densità massica: nell'aria è 10000 volte più grande che nell'acqua; per esempio il diossido di carbonio in aria ha un coefficiente pari a 16 mm²/s, mentre in acqua è pari a 0,0016 mm²/s.

Stima della diffusività di materia

Il calcolo della diffusività di materia può essere effettuato utilizzando equazioni teoriche, correlazioni empiriche o analogie, che vengono scelte in base al sistema in studio.

Teoria di Chapman-Enskog

Il coefficiente di diffusione può essere ricavato con l'approssimazione di Chapman-Enskog, valida nel caso di gas monoatomici in condizioni di bassa densità.

Dall'applicazione di tale teoria discende che:

${\mathcal {D}}_{m}=f_{0}{\frac {\sqrt {T\left({\frac {1}{M_{A}}}+{\frac {1}{M_{B}}}\right)}}{C\sigma _{AB}^{2}\omega _{\mathcal {D}}}}$

dove:

• $f_{0}=2,2646\cdot 10^{15}$ s^-1 K^-1/2 è una costante
• ${\mathcal {D}}$ è il coefficiente di diffusione
• T è la temperatura
• M_A e M_B sono le masse molecolari delle specie
• C è la concentrazione
• $\sigma _{AB}$ è il diametro di collisione
• $\omega _{\mathcal {D}}$ è un numero adimensionale che dipende dalla temperatura e da altri fattori, ricavabile da alcune tabelle ottenute per via sperimentale.

Analogia di Chilton-Colburn

L'analogia di Chilton-Colburn esprime un legame tra le grandezze fisiche che regolano il trasferimento di materia e le grandezze fisiche che regolano il trasferimento di calore. Questa relazione può essere utilizzata per stimare il coefficiente di scambio di materia facendo riferimento ad un sistema in cui si abbia trasferimento di massa.

L'analogia di Chilton-Colburn si può scrivere nella forma:

${\frac {k}{h}}={\frac {{\mathcal {D}}^{2/3}}{\lambda ^{2/3}}}(\rho c_{p})^{-1/3}$

essendo:

• $h$: coefficiente di scambio termico
• $\lambda$: conducibilità termica
• $\rho$: densità
• $c_{p}$: calore specifico a pressione costante.

Bibliografia

• (EN) M. McNaught, A. Wilkinson, IUPAC. Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book"), 2ª ed., Oxford, Blackwell Scientific Publications, 1997, DOI:10.1351/goldbook.D01719.html, ISBN 0-9678550-9-8.
• (EN) Robert Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2ª ed., New York, Wiley, 2007, ISBN 0-470-11539-4.
• (EN) Frank P. Incropera, David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6ª ed., Wiley, 2006, ISBN 0-471-45728-0.
• Sydney Chapman, Thomas George Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases: an account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction, and diffusion in gases, 3ª ed., Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X.

Voci correlate

• Scambio di materia
• Coefficiente di scambio di materia
• Mobilità elettrica
• Leggi di Fick
• Legge di Soret
• Diffusività termica
• Diffusività cinematica
• Diffusività magnetica
• Teoria della penetrazione
• Teoria del film (fenomeni di trasporto)

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