Diffusività di materia

Nel fenomeno fisico della diffusione molecolare, la diffusività di materia è il potenziale scalare della velocità delle particelle nel mezzo all'interno del quale esse si trovano.

Indice

DefinizioneModifica

La diffusività è definita come l'opposto dell'antigradiente della velocità (è cioè legata alla velocità come l'energia potenziale è legata alla forza)

{\mathcal {D}}_{m}(x,y,z)=-\nabla ^{-1}\mathbf {v} (x,y,z)

Come tutte le diffusività, ha le dimensioni di $\left[L^{2}\cdot t^{-1}\right]$ . Nel caso di moto browniano il campo di velocità è isotropo, cioè la particella tende a muoversi senza direzioni preferenziali ovunque si trovi. Se la velocità è uniforme il coefficiente di diffusione diventa una costante nelle coordinate spaziali:

\nabla ^{2}{\mathcal {D}}_{m}=0,

questa condizione viene rappresentata da un'equazione di Laplace: la diffusività è armonica.

ProprietàModifica

La diffusività risulta sperimentalmente:

direttamente proporzionale alla energia cinetica della particella;
inversamente proporzionale all'ingombro della particella (e quindi al suo raggio);
inversamente proporzionale alla viscosità del mezzo.

Per tenere conto di queste ed altre proprietà si utilizza come modello la relazione di Stokes-Einstein:

{\mathcal {D}}_{m}={\frac {kT}{6\pi r\mu }}

dove:

kT: proporzionale alla energia cinetica^[1]
r: raggio della particella
μ: viscosità del mezzo, $\left[\mu \right]=\left[M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}\right]$

Dipendenza dalla temperaturaModifica

Con margini di errore generalmente accettabili vale la relazione:

{\mathcal {D}}_{m}={\mathcal {D}}_{m0}\cdot e^{-{\frac {\Delta E^{\ddagger }}{R\cdot T}}},

dove:

$\,{\mathcal {D}}_{m}$ è il coefficiente di diffusione di materia;
$\,{\mathcal {D}}_{m0}$ è il coefficiente massimo di diffusione (a temperatura infinita);
$\,\Delta E^{\ddagger }$ è l'energia di attivazione per la diffusione;
$\,T$ è la temperatura assoluta;
$\,R$ è la costante dei gas.

Un'equazione in questa forma è conosciuta come equazione di Arrhenius.

ApplicazioneModifica

Lo stesso argomento in dettaglio: Leggi di Fick.

La diffusività materiale viene introdotta per comodità nel calcolo della corrente diffusa:

J\approx -{\mathcal {D}}_{m}\cdot {\frac {\triangle C}{\triangle x}}

dove ΔC è la differenza di concentrazione e Δx è la lunghezza del tratto che si considera. ΔC/Δx corrisponde nella versione esatta al gradiente spaziale della concentrazione.^[2]

Dipendenza dalla densitàModifica

Tipicamente la diffusione è inversamente proporzionale alla densità massica: nell'aria è 10000 volte più grande che nell'acqua; per esempio il diossido di carbonio in aria ha un coefficiente pari a 16 mm²/s, mentre in acqua è pari a 0,0016 mm²/s.

Teoria di Chapman-EnskogModifica

Il coefficiente di diffusione può essere ricavato con l'approssimazione di Chapman-Enskog,^[3] valida nel caso di gas monoatomici in condizioni di bassa densità.^[4]

Dall'applicazione di tale teoria discende che:^[5]

{\mathcal {D}}_{m}=f_{0}{\frac {\sqrt {T\left({\frac {1}{M_{A}}}+{\frac {1}{M_{B}}}\right)}}{C\sigma _{AB}^{2}\omega _{\mathcal {D}}}}

dove:

$f_{0}=2,2646\cdot 10^{15}$ s^-1 K^-1/2 è una costante
${\mathcal {D}}$ è il coefficiente di diffusione
T è la temperatura
M_A e M_B sono le masse molecolari delle specie
C è la concentrazione
$\sigma _{AB}$ è il diametro di collisione
$\omega _{\mathcal {D}}$ è un numero adimensionale che dipende dalla temperatura e da altri fattori, ricavabile da alcune tabelle ottenute per via sperimentale.^[6]

NoteModifica

^ essendo questa: ${\frac {1}{2}}\cdot kT$ (k= costante di Boltzmann; T= Temperatura assoluta)
^ IUPAC Gold Book.
^ Chapman.
^ Bird, p. 19.
^ Bird, pp. 520-521.
^ Bird, p. 770.