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Dimostrazione della trascendenza di e

La prima dimostrazione della trascendenza di e sul campo dei numeri razionali fu completata nel 1873 ad opera di Charles Hermite. Successivamente David Hilbert (1862–1943) ne fornì una versione semplificata.

La dimostrazione di HilbertModifica

Supponiamo per assurdo che   sia un numero algebrico e cioè che esista un insieme finito di coefficienti razionali non nulli   che soddisfano l'equazione

 

A meno di moltiplicare per il denominatore comune dei coefficienti, non è restrittivo supporre che tali coefficienti siano interi. Si può inoltre supporre che   sia il minimo intero per cui esistano dei tali coefficienti.

Per ogni coppia di interi   e  , siano   e   le funzioni definite da

 
 

Per ogni   consideriamo l'equazione ottenuta moltiplicando per   ambo i membri dell'equazione

 

in modo da ottenere

 

Dalla definizione di   e   discende che   per ogni coppia di interi  ,   e dunque l'equazione precedente può anche essere scritta nella forma

 

dove

 
 

Per completare la dimostrazione basta dunque mostrare che per   sufficientemente grande

 

è un intero non-nullo mentre

 

non è intero, in quanto tali fatti sono in contraddizione con l'equazione

 

Il fatto che il primo numero sia un intero risulta dall'identità

 

che è valida per ogni intero positivo   e può essere dimostrata per induzione usando l'integrazione per parti.

Per mostrare che per   sufficientemente grande il secondo numero non è intero, è sufficiente provare che   si ha

 

A questo scopo, notiamo dapprima che

 

è il prodotto delle funzioni

 e 

Osserviamo poi che, se denotiamo rispettivamente con   e   i massimi di

 

sull'intervallo  , si ha

 

per un'opportuna costante  . Di conseguenza

 

e dunque

 

Quindi, per la definizione di limite,   risulta

 

Per concludere la dimostrazione basta quindi mostrare che questo numero è diverso da zero, e ciò segue dalla minimalità di   in quanto   risulta  .

Una strategia simile, differente dall'approccio originale di Lindemann, può essere usata per mostrare che π è trascendente.

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