Distribuzione generalizzata dei valori estremi

In teoria della probabilità la distribuzione generalizzata dei valori estremi (dall'inglese generalized extreme value distribution, in sigla GEV), o distribuzione di Fisher-Tippett, è una famiglia di distribuzioni di probabilità che raccoglie la distribuzione di Fréchet, la distribuzione di Weibull e la distribuzione di Gumbel (come caso al limite).

Questa famiglia è comune nella teoria dei valori estremi, dove descrive il limite dei massimi $M_{n}=\max\{X_{1},X_{2},...,X_{n}\}$ in una successione di variabili aleatorie indipendenti, secondo il teorema dei valori estremi.

Il secondo nome con cui è conosciuta deriva dagli statistici britannici Fisher e Tippett.

Definizione

Una distribuzione generalizzata dei valori estremi è caratterizzata da tre parametri reali $(\mu ,\ \sigma ,\ \xi )$ con $\sigma >0$ e $\xi \neq 0$; il suo supporto dipende dai valori dei parametri.

La sua funzione di ripartizione è definita come:

$F(x)=e^{-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}}$,

per i valori di $x$ che soddisfano:

$\xi \cdot x\geq \xi \cdot \mu -\sigma$

Classificazione

Prendendo

$a=\mu -{\frac {\sigma }{\xi }},\qquad b={\frac {\sigma }{\xi }},\qquad c={\frac {1}{\xi }}$,

la funzione di ripartizione può essere scritta come:

$F(x)=e^{-({\tfrac {x-a}{b}})^{-c}}$.

Distribuzione di Fréchet

Per $\xi >0$ la distribuzione è una distribuzione di Fréchet generalizzata di parametri $(a,b,c)$

Distribuzione di Weibull

Per $\xi <0$ la distribuzione "riprende" una distribuzione di Weibull generalizzata di parametri $(a,b,-c)$, descrivendone la funzione di sopravvivenza; più precisamente le due distribuzioni descrivono due variabili aleatorie opposte, $X$ e $-X$.

Distribuzione di Gumbel

Per $\xi =0$ la distribuzione non è definita, ma al limite $\xi \to 0$ si ottiene:

$\lim _{\xi \to 0}F_{\xi }(x)=e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}$,

che corrisponde alla distribuzione di Gumbel.

Bibliografia

• Demetris Koutsoyiannis, Statistics of extremes and estimation of extreme rainfall: I. Theoretical investigation / Statistiques de valeurs extrêmes et estimation de précipitations extrêmes: I. Recherche théorique, in Hydrological Sciences Journal, vol. 49, n. 4, 2004-08, DOI:10.1623/hysj.49.4.575.54430. URL consultato il 19 novembre 2021.

Voci correlate

• Distribuzione di Fréchet
• Distribuzione di Gumbel
• Distribuzione di Weibull