Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica

dimostrazione che la media aritmetica di numeri reali non negativi è sempre maggiore o uguale della loro media geometrica

In matematica, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista; e inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso.

Il caso non banale più semplice, per due numeri reali non negativi e , è la disuguaglianza:

con l'uguaglianza se e solo se . Questo caso può essere visto dal fatto che il quadrato di un numero reale è sempre non negativo (maggiore o uguale a zero) e dal caso elementare della formula binomiale:

Quindi , con l'uguaglianza precisamente quando , cioè . La disuguaglianza MA-MG segue poi applicando la radice quadrata ad ambo i membri.

Per un'interpretazione geometrica, si consideri un rettangolo con lati di lunghezza e , perciò ha perimetro e area . In modo simile, un quadrato con il lato di lunghezza ha perimetro e la stessa area del rettangolo. Questo caso della disuguaglianza MA-MG implica per i perimetri che e pertanto che il quadrato ha il minore perimetro tra tutti i rettangoli di uguale area.

Estensioni della disuguaglianza MA-MG sono disponibili per includere medie pesate o generalizzate.

Media aritmetica e geometricaModifica

La media aritmetica, o meno precisamente la media, di una lista di   numeri   è la somma dei numeri divisa per  :

 

La media geometrica è simile, eccetto che è definita solo per una lista di numeri non negativi, e usa la moltiplicazione e la radice n-esima invece della somma e divisione:

 

Se  , questo è uguale all'esponenziale della media aritmetica dei logaritmi naturali dei numeri:

 

La disuguaglianzaModifica

Riaffermando la disuguaglianza usando la notazione matematica, si ha che per ogni lista di   numeri non negativi  ,

 

e vale l'uguaglianza se e solo se  .

Interpretazione geometricaModifica

In due dimensioni,   è il perimetro di un rettangolo con lati di lunghezza   e  . In modo simile,   è il perimetro di un quadrato della stessa area   del rettangolo. Quindi per   la disuguaglianza afferma che solo il quadrato è fra i rettangoli aventi la stessa area quello che ha il perimetro minore.

La vera disuguaglianza è un'estensione di quest'idea a   dimensioni. Ogni vertice di una scatola  -dimensionale è connesso a   spigoli. Se le miure di questi spigoli sono  , allora   è la lunghezza totale degli spigoli incidenti in quel vertice. Ci sono in totale   vertici, quindi si moltiplica   per  ; poiché ogni spigolo, tuttavia, incontra sue vertici, ciascuno dei primi sono contati due volte. Pertanto, si divide il risultato per   e si conclude che ci sono   spigoli. Ci sono lo stesso numero di spigoli per ogni lunghezza, quindi ci sono   spigoli per ogni   e la loro lunghezza totale è perciò  . D'altra parte,

 

è la lunghezza totale degli spigoli connessi a un vertice in un cubo  -dimensionale di uguale volume, poiché in questo caso  . Siccome la disuguaglianza afferma che

 

moltiplicando entrambi i membri per   si ottiene

 

con l'uguaglianza se e solo se  .

Così la disuguaglianza MA-MG afferma che fra le scatole  -dimensionali di uguale volume, l'n-cubo ha la minore somma delle lunghezze degli spigoli connessi a ciascun vertice.[1]

Esempio di applicazioneModifica

Si consideri la funzione

 

per ogni numero reale positivo  ,  e  . Si supponga di trovare il minimo valore della funzione. Prima la riscriviamo come:

 

con

 

Applicando la disuguaglianza MA-MG per  , si ha

 

Inoltre, si sa che i due membri sono esattamente uguali quando tutti i termini della media sono uguali:

 

Tutti i punti   soddisfacenti questa condizione giacciono su una semiretta che parte dall'origine e sono dati da

 

Applicazioni praticheModifica

Un'importante applicazione pratica nella matematica finanziaria è il calcolo del tasso di rendimento: il ritorno annuo, calcolato attraverso la media geometrica, è minore del ritorno annuo medio, ricavato da una media aritmetica (o uguali se tutti i profitti sono uguali). Questo è importante nell'analisi degli investimenti, poiché il ritorno medio sopravvaluta l'effetto cumulativo.

Dimostrazioni della disuguaglianza MA-MGModifica

Dimostrazione usando la disuguaglianza di JensenModifica

La disuguaglianza di Jensen afferma che il valore di una media aritmetica calcolata in una funzione concava è maggiore o uguale della media aritmetica dei valori della funzione. Poiché la funzione logaritmo è concava, si ottiene

 

Prendendo l'esponenziale di entrambi i membri, si ha la disuguaglianza MA-MG.

Dimostrazioni per induzioneModifica

Si deve mostrare che

 

con l'uguaglianza se e solo se tutti i numeri sono uguali. Se  , allora sostituendo sia   sia   con   lascerà la media aritmetica inalterata, ma incrementerà la media geometrica sulla destra perché

 

Così il membro destro sarà il più grande quando tutti gli   sono uguali alla media aritmetica

 

e siccome questo è il maggior valore del membro destro, si ha

 

Questa è una dimostrazione valida per il caso  , ma la procedura di prendere iterativamente medie di coppie di numeri può fallire nel produrre valori uguali nel caso  . Un esempio di questo caso è  : Prendendo la media di due numeri differenti se ne ottengono due uguali, ma il terzo è ancora diverso. Perciò, non si avrà mai una disuguaglianza sulla media geometrica di tre numeri uguali.

Quindi, un trucco in più o un diverso ragionamento è necessario per trasformare l'idea precedente in una valida dimostrazione per  .

Dimostrazione per induzione #1Modifica

Con la media aritmetica

 

di numeri reali non negativi  , la disuguaglianza è equivalente a

 

con l'uguaglianza se e solo se   per ogni  . Per la seguente dimostrazione si applica il principio d'induzione e solo ben conosciute regole di aritmetica.

Base induttiva: Per   l'enunciato è vero con l'uguaglianza.

Ipotesi induttiva: Si supponga che la disuguaglianza valga per ogni scelta di   numeri reali non negativi.

Passo induttivo: Si consideri   numeri reali non negativi  . La loro media aritmetica   soddisfa

 

Se tutti i   sono uguali ad  , allora si ha l'uguaglianza e si è concluso. Nel caso in cui qualcuno non è uguale a  , deve esistere un numero della lista che è più grande della media   e un altro che è più piccolo. Senza perdita di generalità, si possono riordinare i   in modo da collocare questi due particolari elementi alla fine:   e  . Allora

 
 

Ora si definisce   come

 

e si consideri i   numeri   che sono tutti non negativi. Poiché

 
 

Perciò,   è anche la media aritmetica degli   numeri   e l'ipotesi induttiva implica

 

Grazie a   si sa che

 

quindi

 

in particulare  . Dunque, se almeno uno dei numeri   è zero, allora si aveva già la disuguaglianza stretta in  . D'altra parte il membro destro della   è positivo e si ottiene la disuguaglianza stretta usando la stima   per avere un limite inferiore della parte destra della  . Quindi, in entrambi i casi si può sostituire   in   per ottenere

 

che completa la dimostrazione.

Dimostrazione per induzione #2Modifica

Prima di tutto si dimostra che per i numeri reali   e   vale

 

Infatti, moltiplicando entrambi i membri di   per  , si ottiene

 

dalla quale si ricava immediatamente la disuguaglianza richiesta.

Ora, ora si andrà a dimostrare che per i numeri reali   tali che  , vale

 

L'uguaglianza vale se  .

Base induttiva: Per   l'enunciato è vero per la proprietà precedente.

Ipotesi induttiva: Si supponga che è vero per ogni numero naturale fino a  .

Passo induttivo: Si consideri   numeri reali positivi   che soddisfano  . Esisterà almeno un  , quindi ci deve essere almeno un  . Senza perdità di generalità, si pone   e  .

Inoltre, la condizione   si scrive nella forma  . Qui l'ipotesi induttiva implica

 

Tuttavia, tenendo conto della base induttiva, si ha

 

che completa la dimostrazione.

Dati i numeri positivi reali  , si definiscono   come

 

I numeri   soddisfano la condizione  . Così si ottiene

 

da cui si ricava

 

con l'uguaglianza che vale se e solo se  .

Dimostrazione per induzione utilizzando il calcolo infinitesimaleModifica

La seguente dimostrazione utilizza il principio di induzione e basi di calcolo differenziale.

Base induttiva: Per   l'enunciato è vero con l'uguale.

Ipotesi induttiva: Si supponga che la disuguaglianza MA-MG vale per ogni scelta di  numeri reali non negativi.

Passo induttivo: Per dimostrare l'enunciato per   numeri non negativi  , si ha bisogno di verificare che

 

con l'uguaglianza se e solo se i   numeri sono uguali.

Se tutti i numeri sono zero, l'enunciato vale con l'uguale. Se almeno un numero è non zero, si ha la disuguaglianza stretta. Pertanto, si può assumere che tutti i   numeri sono positivi.

Si consideri l'ultimo numero   come una variabile e si definisca la funzione

 

Provare il passo induttiva corrisponde a mostrare che   per ogni  , e che   solo se   sono uguali. Questo può essere fatto analizzando i punti critici di   usando calcolo differenziale basilare.

La derivata prima si   è data da

 

Un punto critico   deve soddisfare  , che significa

 

Dopo pochi calcoli si ha

 

e infine

 

che è la media geometrica di  . Questo è l'unico punto critico di  . Poiché   per ogni  , la funzione è strettamente convessa e ha un massimo globale stretto in  . Successivamente si calcola il valore della funzione nel punto di massimo:

 

dove la disuguaglianza finale vale per l'ipotesi induttiva. L'ipotesi afferma anche che si può avere l'uguaglianza se e solo se   sono tutti uguali. In questo caso, la loro media geometrica   ha lo stesso valore e quindi, a meno che   siano tutti uguali, si ha  , che completa la dimostrazione.

Questa tecnica può essere usata nella solita maniera per la disuguaglianza MA-MG generalizzata e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo  .

Dimostrazione di CauchyModifica

La seguente dimostrazione per casi si basa direttamente su ben note regole di aritmetica ma impiega la tecnica dell'induzione "in avanti e a ritroso", usata molto raramente. La tecnica è essenzialmente di Augustin-Louis Cauchy e può essere trovata nel suo Cours d'analyse.[2] In questa variante del principio di induzione, una volta dimostrata vera la proprietà   per  , il passo induttivo consiste nel dimostrare che

  •   è vera per   con  
  •   con  

Perciò la tecnica si basa sul dimostrare prima che la proposizione è vera nel caso facile di una potenza di due ("in avanti"), e poi che è vero per ogni suo numero minore ("a ritroso"). L'idea intuitiva è quindi che, siccome le potenze di due diventano "arbitrariamente grandi" e per ogni loro intero minore vale l'enunciato, allora la dimostrazione riesce a "raggiungere" ogni numero naturale.

Il caso in cui sono tutti uguali

Se tutti i termini sono:

 

allora la loro somma è  , perciò la loro media aritmetica è  ; e il loro prodotto è  , perciò la loro media geometrica è  . Pertanto, la media geometrica e aritmetica sono uguali, come desiderato.

Il caso in cui non sono tutti uguali

Rimane da mostrare che se non tutti i termini sono uguali, allora la media aritmetica è maggiore della media geometrica. Chiaramente, questo è possibile solo quando  .

Si passa ora a dimostrare il passo base e poi le due parti del passo induttivo.

Il passo base: n = 2

Se  , allora si hanno due termini,   e  , e poiché (per ipotesi) non tutti i termini sono uguali, si ha:

 

quindi

 

come desiderato.

Il sottocaso n = 2k

Si consideri il caso dove  , dove   è un intero positivo. Si procede per induzione matematica.

Nel passo base,  , così  . La disuguaglianza vale per   come dimostrato precedentemente.

Ora si suppone che per un dato   la disuguaglianza valga per   e si vuole dimostrare che anche   la soddisfa. Per farlo, si applica due volte la disuguaglianza per   numeri e una volta il caso   per ottenere

 

dove nella prima disuguaglianza, i due membri sono uguali solo se

 

e

 

(in cui la media aritmetica e geometrica della prima sono entrambe uguali a  , e similmente per la seconda); e nella seconda disuguaglianza, i due membri sono uguali solo se sono uguali le medie geometriche. Poiché non tutti i   numeri sono uguali, è impossibile che entrambe siano uguaglianze, così si ricava che:

 

come desiderato.

Il sottocaso n < 2k

Se   non è una potenza intera di 2, allora è certamente minore di una qualche potenza di due, poiché la successione   è superiormente illimitata. Dunque, senza perdita di generalità, sia   una qualche potenza di due che è maggiore di  .

Quindi, dati gli   termini, si indica con   la loro media aritmetica e si espande la lista in modo da avere   numeri:

 

Si ha dunque:

 

da cui

 

cioè

 

come desiderato.

Dimostrazione di Pólya utilizzando la funzione esponenzialeModifica

George Pólya fornì una dimostrazione simile a quella seguente. Sia  , con derivata prima   e derivata seconda  . Si osserva che  ,   e   per ogni  , perciò   è strettamente convessa con minimo assoluto in  . Ne segue che   per ogni numero reale  con l'uguaglianza se e solo se  .

Si consideri la lista di numeri reali non negativi  . Se sono tutti zero, allora la disuguaglianza MA-MG vale con l'uguale. Quindi in seguito si considererà la loro media aritmetica  . Dalla disuguaglianza precedente applicata   volte, si ottiene che

 

con l'uguaglianza se e solo se ogni  . L'argomento della funzione esponenziale può essere semplificato nella seguente maniera:

 

Ritornando alla  ,

 

che produce  , e quindi l'enunciato[3]

 

GeneralizzazioniModifica

Disuguaglianza MA-MG pesataModifica

Esiste una disuguaglianza simile per la media aritmetica pesata e la media geometrica pesate. In modo specifico, siano   numeri reali non negativi e   i loro rispettivi pesi (non negativi). Si definisca inoltre  . Se  , allora vale la disuguaglianza

 

e diventa una uguaglianza se e solo se tutti i   con i   sono uguali. Qui si usa la convenzione  .

Se tutti i   sono uguali a  , la disuguaglianza si riduce a alla MA-MG non pesata analizzata precedentemente.

Dimostrazione usando la disuguaglianza di JensenModifica

Usando la disuguaglianza di Jensen per il logaritmo naturale, si può dimostrare la disuguaglianza fra la media aritmetica pesata e la media geometrica pesata affermata prima.

Poiché un   con peso   non ha nessuna influenza sulla disuguaglianza, si può assumere che tutti i pesi sono positivi. Se tutti i numeri   sono uguali, allora vale l'uguaglianza. Pertanto, rimane da provare la disuguaglianza stretta se non sono tutti uguali, che in seguito verrà assunto. Se almeno uno degli   è nullo (ma non tutti), allora la media geometrica è zero, mentre la media aritmetica pesata è positiva, perciò vale la disuguaglianza stretta e allora si può assumere anche tutti i   sono positivi.

Dal momento che il logaritmo è una funzione strettamente concava, la disuguaglianza di Jensen e le proprietà del logaritmo implicano

 

Poiché il logaritmo è strettamente monotono,

 

Altre generalizzazioniModifica

Altre generalizzazioni della disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica sono:

NoteModifica

  1. ^ J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA Problem Books Series, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54677-5, OCLC 54079548.
  2. ^ Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique, Archiviato il 14 ottobre 2017 in Internet Archive. Paris. La dimostrazione della disuguaglianza tra le due medie può essere trovata dalla pagina 457.
  3. ^ Denise Arnold e Graham Arnold, Four unit mathematics, Hodder Arnold H&S, 1993, p. 242, ISBN 978-0-340-54335-1, OCLC 38328013.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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