Elemento assorbente

In matematica, un elemento assorbente è un particolare tipo di elemento di un insieme rispetto ad un'operazione binaria nel dato insieme. Il risultato della combinazione di un elemento assorbente con qualsiasi altro elemento dell'insieme è l'elemento assorbente stesso. Nella teoria dei semigruppi, l'elemento assorbente è chiamato elemento zero.[1][2]

DefinizioneModifica

Sia   una coppia ordinata di un insieme e un'operazione binaria definita nell'insieme stesso (cioè un magma). Un elemento assorbente   di   è tale che, per tutti gli elementi   di  , si ha  .

Una definizione più ampia distingue due tipi di elemento assorbente: l'elemento zero destro, per cui   per ogni  , e l'elemento zero sinistro, per cui   per ogni  .[2] Un elemento che sia zero destro che zero sinistro è un elemento assorbente secondo la definizione precedente.

ProprietàModifica

  • Se un magma gode di un elemento zero destro   ed uno zero sinistro  , allora essi coincidono e costituiscono l'elemento zero del magma. Infatti,  .
  • Se un magma ha un elemento assorbente, esso è unico.

EsempiModifica

Insieme Operazione Elemento
assorbente
numeri reali · (moltiplicazione) 0
numeri interi massimo comun divisore 1
matrici quadrate · (moltiplicazione) matrice nulla
numeri reali estesi elemento minimo −∞
numeri reali estesi elemento massimo +∞
insiemi ∩ (intersezione) { } (insieme vuoto)
sottoinsiemi di M ∪ (unione) M
logica booleana ∧ (congiunzione logica) ⊥ (falso)
logica booleana ∨ (disgiunzione inclusiva) ⊤ (vero)
Insieme Operazione Elemento
zero sinistro
numeri reali : (divisione) 0

NoteModifica

  1. ^ Howie, pp. 2-3.
  2. ^ a b Kilp, Knauer, Mikhalev, pp. 14-15.

BibliografiaModifica

  • (EN) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9.
  • (EN) M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, in De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
  • (EN) Jonathan Golan, Semirings and Their Applications, Springer, 1999, ISBN 0-7923-5786-8.

Voci correlateModifica

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