Equazione binomia

Le equazioni binomie sono equazioni algebriche riconducibili alla forma:^[1]

ax^{n}+b=0

dove $n$ è un intero positivo, $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi e $a\neq 0$ . Portando $\,b$ al secondo membro e dividendo per $\,a$ si ottiene l'equazione equivalente:

x^{n}=-{\frac {b}{a}}

Metodi risolutivi

Nel caso di numeri reali, l'equazione può avere nessuna, una o due soluzioni reali.

Se $n$ è dispari l'equazione ammette l'unica soluzione $x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$ .

Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}<0$ non ci sono soluzioni reali.

Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}\geq 0$ ammette le soluzioni opposte $x=+{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$ e $x=-{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$ . In particolare, se $-{\frac {b}{a}}=0$ , l'unica soluzione è $x=0$ .

Nel caso dei numeri complessi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ha sempre $n$ soluzioni uguali alle radici $n$ -esime di $-{\frac {b}{a}}$ .^[2]

Esempi

$x^{3}+27=0\;\;\;\to \,\;\;x^{3}=-27\;\;\;\to \;\;\;x={\sqrt[{3}]{-27}}\;\;\;\to \;\;\;x=-3\;\;\;$ (una soluzione reale).
$x^{4}-16=0\;\;\;\to \;\;\;x^{4}=16\,\;\,\to \;\,\,x={\sqrt[{4}]{16}}\;\;\;\to \;\;\,x=\pm 2\;\,\,$ (due soluzioni reali).
$2x^{2}+50=0\;\;\;\to \;\;\;2x^{2}=-50\;\;\;\to \;\;\;x^{2}=-25$ .

A questo punto si hanno due possibilità:

se si desidera cercare le soluzioni nel campo dei numeri reali, allora l'equazione è impossibile perché una potenza pari non dà mai come risultato un numero negativo.
se si cercano le soluzioni nel numero complesso si ha:

x={\sqrt {-25}}\;\;\,\to \;\;\;x={\sqrt {25i^{2}}}\;\;\;\to \;\;\;x=\pm 5i

dove è stata utilizzata l'unità immaginaria (

i^{2}=-1

).

Tabella Riassuntiva

**EQUAZIONE BINOMIA:** $x^{n}=q$ con $x\in \mathbb {R} \land n\in \mathbb {N} \land n>0\land q\in \mathbb {R}$
	$n$ pari	$n$ dispari
$q>0$	$\pm {\sqrt[{n}]{q}}$	$+{\sqrt[{n}]{q}}$
$q<0$	$\not \exists x\in \mathbb {R}$	$-{\sqrt[{n}]{\left\|q\right\|}}$

Note

^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.98
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.466

Bibliografia

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

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[1] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.98

[2] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.466

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