Equazione del trasporto

In matematica, l'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, utilizzata in particolare per descrivere i fenomeni di trasporto, come la trasmissione del calore o lo scambio di materia.

Formulazione

L'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare, che, nel caso di coefficienti costanti, assume la forma:^[1]

{\frac {\partial {u}}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla u=f

dove $\nabla$ è il gradiente e

u(\mathbf {x} ,t):\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}

è la funzione incognita nelle variabili posizione $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ e tempo $t\in \mathbb {R}$ , mentre $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ ed $f$ è il termine sorgente, che condivide con $u$ dominio e codominio.

Soluzione per l'equazione omogenea

L'equazione del trasporto omogenea ha la forma:

{\frac {\partial {u}}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla u=0

L'equazione esprime il fatto che esiste una derivata direzionale di $u$ nulla, ovvero in tutto lo spazio-tempo la funzione incognita è sempre costante in una certa direzione.^[2]

Si consideri il generico punto $(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )$ e si definisca la funzione:

z(s)=u(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)

con $s$ reale.

Il differenziale di tale funzione è:

dz=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial z}{\partial x_{i}}}dx_{i}(s)+{\frac {\partial z}{\partial t}}dt(s)=\nabla z\cdot d\mathbf {x} (s)+{\frac {\partial z}{\partial t}}dt(s)

Essendo:

{\frac {d\mathbf {x} (s)}{ds}}=\mathbf {b} \qquad {\frac {dt(s)}{ds}}=1

la derivata totale rispetto a $s$ è:

{\frac {dz}{ds}}={\frac {\partial z}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla z=0

L'annullarsi è dovuto alla linearità dell'equazione omogenea, e quindi $z$ è una funzione costante nella variabile $s$ . Questo significa che $u$ è una funzione costante in ogni punto $(x,t)$ nella direzione $(\mathbf {b} ,1)$ : tale direzione è una retta se $\mathbf {b}$ è costante, ed è parametrizzata da $(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)$ . Conoscendo il valore di $u$ lungo tale direzione, in particolare, si conosce il valore di $u$ in tutto il dominio.^[2]

Si ponga come condizione al contorno che nel punto $t=0$ si abbia $u=g$ , con $g$ nota. La direzione di $u$ interseca il piano $\mathbb {R} ^{n}\times [t=0]$ quando $s=-t$ , e quindi:

u(\mathbf {x} -t\mathbf {b} ,0)=g(\mathbf {x} -t\mathbf {b} )

da cui segue che:

u(\mathbf {x} ,t)=g(\mathbf {x} -t\mathbf {b} )

Se $g$ è una funzione differenziabile, la soluzione è in senso classico.

Soluzione per l'equazione non omogenea

Il termine sorgente è detto anche forzante, mentre la condizione iniziale impone che nel punto $t=0$ si abbia $u=g$ . Questi assunti costituiscono i dati del problema, che per essere ben posto richiede che la soluzione sia unica e dipendente con continuità da tali dati.^[3]

Si ponga, come nel caso della soluzione per l'equazione omogenea:

z(s)=u(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)

Si ha:

{\frac {dz}{ds}}={\frac {\partial z}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla z=f(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)

Dal momento che:

u(\mathbf {x} ,t)=z[s=0]\qquad g(\mathbf {x} -\mathbf {b} t)=z[s=-t]

si ottiene:^[1]

\int _{-t}^{0}{\frac {dz(s)}{ds}}ds=z[s=0]-z[s=-t]=u(\mathbf {x} ,t)-g(\mathbf {x} -\mathbf {b} t)=\int _{-t}^{0}f(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)ds=\int _{0}^{t}f(\mathbf {x} +(s-t)\mathbf {b} ,s)ds

e quindi, considerando il terzo ed il quinto termine:

u(\mathbf {x} ,t)=g(\mathbf {x} -\mathbf {b} t)+\int _{0}^{t}f(\mathbf {x} +(s-t)\mathbf {b} ,s)ds

La procedura utilizzata, che permette di convertire l'equazione alle derivate parziali in un'equazione differenziale ordinaria, è un caso particolare del metodo delle caratteristiche.