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Nel calcolo differenziale, la derivata totale di una funzione di più variabili è la derivata della funzione che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse. In altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Ad esempio, la derivata totale di rispetto a è:

Ogni derivata totale è in corrispondenza biunivoca con una 1-forma differenziale esatta:

dove , , e sono i differenziali.

DefinizioneModifica

Sia   un intervallo,   aperto,   curva di classe   e una funzione   anch'essa di classe  .

Si definisce derivata totale di   rispetto a   la funzione:

 

Si può osservare che

 

EsempioModifica

Siano   un sottoinsieme aperto di     un intervallo e  , con  . Data una funzione  , si può definire una funzione   data da:

 

ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni   sono derivabili nel punto   e se   è differenziabile nel punto   allora   è derivabile in   e si ha:

 

pertanto l'ultima espressione diviene:

 

Applicazione in fisicaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata materiale.

In fisica, in particolare in meccanica del continuo, nell'equazione di Boltzmann e nelle equazioni di Maxwell, si utilizzano spesso le coordinate lagrangiane: si è interessati a conoscere la derivata totale temporale di una grandezza fisica   associata ad un elemento di fluido in movimento (particella fluida), che occupa un punto dello spazio non fisso   all'istante  . Tale punto corrisponde alla posizione della particella e le sue coordinate sono funzioni del tempo. Considerando quindi una funzione  , il suo differenziale è:

 

La derivata totale di   rispetto al tempo vale:

 

dove   è la velocità della particella.

Se si descrive il moto del fluido con un campo vettoriale  , che associa ad ogni punto   la velocità   della particella che occupa quel punto al tempo  , indicando con   le sole componenti spaziali del gradiente, la precedente espressione diviene:

 

e viene detta derivata materiale del campo scalare  . La derivata parziale   è il termine di sorgente, e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo. Se il moto è stazionario allora   e le varie grandezze non dipendono esplicitamente dal tempo. Il prodotto scalare   è il termine convettivo, e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.

Più in generale, se invece del campo scalare   si ha un campo vettoriale  , la sua derivata materiale è:

 

dove   è la derivata covariante di  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica