Si considerino un insieme semplicemente connesso e aperto
D
⊂
R
2
{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
continue su
D
{\displaystyle D}
I
(
x
,
y
)
d
x
+
J
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0}
è un'equazione differenziale esatta se esiste una funzione differenziabile con continuità
F
{\displaystyle F}
potenziale , spesso indicato con
U
{\displaystyle U}
∂
F
∂
x
(
x
,
y
)
=
I
∂
F
∂
y
(
x
,
y
)
=
J
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J}
Il termine "esatta" si riferisce alla derivata totale di una funzione, detta talvolta "derivata esatta", che per una funzione
F
(
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
−
1
,
x
n
)
{\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
d
F
d
x
0
=
∂
F
∂
x
0
+
∑
i
=
1
n
∂
F
∂
x
i
d
x
i
d
x
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}}
Nelle applicazioni fisiche
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
teorema di Schwarz fornisce allora una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione potenziale
F
{\displaystyle F}
∂
I
∂
y
(
x
,
y
)
=
∂
J
∂
x
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y)}
Per trovare la soluzione, si consideri l'equazione nella forma:
p
(
x
,
y
)
d
x
+
q
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle p(x,y)dx+q(x,y){dy}=0}
Integrando
p
{\displaystyle p}
x
{\displaystyle x}
f
(
y
)
{\displaystyle f(y)}
y
{\displaystyle y}
P
(
x
,
y
)
=
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
+
f
(
y
)
{\displaystyle P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+f(y)}
Dal momento che:
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
=
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}}
si ottiene l'uguaglianza:
q
(
x
,
y
)
=
∂
[
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
+
f
(
y
)
]
∂
y
=
[
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
]
y
+
f
′
(
y
)
{\displaystyle q(x,y)={\frac {\partial \left[{\int {p(x,y)dx}+f(y)}\right]}{\partial y}}=\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}+f'(y)}
e risolvendo rispetto ad
f
′
(
y
)
{\displaystyle f'(y)}
f
′
(
y
)
=
q
(
x
,
y
)
−
[
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
]
y
{\displaystyle f'(y)=q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}}
Integrando:
f
(
y
)
=
∫
{
q
(
x
,
y
)
−
[
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
]
y
}
d
y
+
C
{\displaystyle f(y)=\int {\left\{q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}\right\}dy}+C}
Sostituendo questo valore in
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
P
(
x
,
y
)
=
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
{
q
(
x
,
y
)
−
[
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
]
y
}
d
y
+
C
{\displaystyle P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+\int {\left\{q(x,y)-\left[\int {p(x,y)dx}\right]_{y}\right\}dy}+C}
Facendo la scelta opposta di variabili si ha, analogamente:
Q
(
x
,
y
)
=
∫
q
(
x
,
y
)
d
y
+
∫
{
p
(
x
,
y
)
−
[
∫
q
(
x
,
y
)
d
y
]
x
}
d
x
+
C
{\displaystyle Q(x,y)=\int {q(x,y)dy}+\int {\left\{p(x,y)-\left[\int {q(x,y)dy}\right]_{x}\right\}dx}+C}
Queste sono soluzioni implicite, da cui si possono ricavare soluzioni esplicite solo se la P o la Q sono invertibili.
Sia dato:
x
y
(
2
log
x
−
3
)
y
′
=
−
y
2
{\displaystyle {xy(2\operatorname {log} x-3)}y'=-y^{2}}
con alcuni passaggi si ottiene:
y
2
x
d
x
+
y
(
2
log
x
−
3
)
d
y
=
0
{\displaystyle {\frac {y^{2}}{x}}dx+y(2\operatorname {log} x-3)dy=0}
di cui una soluzione banale è
y
=
0
{\displaystyle y=0}
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
=
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}}
è soddisfatta e quindi si può calcolare l'integrale rispetto ad
x
{\displaystyle x}
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
y
2
x
d
x
=
y
2
log
x
{\displaystyle \int {p(x,y)dx}=\int {{\frac {y^{2}}{x}}dx}=y^{2}\operatorname {log} x}
Per la seconda parte si deve derivare questa funzione rispetto ad
y
{\displaystyle y}
q
(
x
,
y
)
{\displaystyle q(x,y)}
y
{\displaystyle y}
∫
{
q
(
x
,
y
)
−
[
∫
p
(
x
,
y
)
d
x
]
y
}
d
y
=
∫
[
y
(
2
log
x
−
3
)
−
(
y
2
log
x
)
y
]
d
y
=
−
∫
3
y
d
y
=
−
3
2
y
2
+
C
{\displaystyle \int {\left\{q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}\right\}dy}=\int {\left[y(2\operatorname {log} x-3)-\left({y^{2}\operatorname {log} x}\right)_{y}\right]dy}=-\int {3ydy}=-{\frac {3}{2}}y^{2}+C}
Quindi la soluzione implicita è:
y
2
log
x
−
3
2
y
2
=
C
{\displaystyle y^{2}\operatorname {log} x-{\frac {3}{2}}y^{2}=C}
da cui si ricava facilmente:
y
=
±
2
C
1
2
log
x
−
3
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {2C}}{\sqrt {\frac {1}{2\operatorname {log} x-3}}}}
Equazioni differenziali riconducibili ad esatte
modifica
Una variante delle equazioni differenziali esatte sono quelle per cui non vale l'uguaglianza delle derivate miste, ossia:
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
≠
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}\neq {\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}}
ed è possibile trovare una funzione
μ
{\displaystyle \mu }
fattore d'integrazione , tale che:
∂
[
μ
p
(
x
,
y
)
]
∂
y
=
∂
[
μ
q
(
x
,
y
)
]
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial [\mu p(x,y)]}{\partial y}}={\frac {\partial [\mu q(x,y)]}{\partial x}}}
Esplicitando le derivate:
μ
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
+
p
(
x
,
y
)
∂
μ
∂
y
=
μ
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
+
q
(
x
,
y
)
∂
μ
∂
x
{\displaystyle \mu {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}+p(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}+q(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial x}}}
e risolvendo rispetto a
μ
{\displaystyle \mu }
μ
=
q
(
x
,
y
)
∂
μ
∂
x
−
p
(
x
,
y
)
∂
μ
∂
y
∂
p
∂
y
−
∂
q
∂
x
{\displaystyle \mu ={\frac {q(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial x}}-p(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}}{{\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}}}}
Se è possibile trovare una funzione
μ
{\displaystyle \mu }
P
(
x
,
y
)
=
μ
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)=\mu p(x,y)}
Q
(
x
,
y
)
=
μ
q
(
x
,
y
)
{\displaystyle Q(x,y)=\mu q(x,y)}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
Il primo metodo di risoluzione consiste nel cercare un fattore d'integrazione
μ
{\displaystyle \mu }
∂
μ
∂
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial y}}=0}
e dunque esplicitando:
μ
∂
p
∂
y
=
μ
∂
q
∂
x
+
q
∂
μ
∂
x
{\displaystyle \mu {\frac {\partial p}{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}}
Risolvendo rispetto a
μ
′
{\displaystyle \mu '}
∂
μ
∂
x
=
μ
(
∂
p
∂
y
−
∂
q
∂
x
)
q
=
f
(
x
,
y
)
μ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {\mu \left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)}{q}}=f(x,y)\mu (x)}
Per quanto detto sopra, la
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
x
{\displaystyle x}
μ
{\displaystyle \mu }
y
{\displaystyle y}
f
x
y
{\displaystyle f_{xy}}
f
y
x
{\displaystyle f_{yx}}
∂
μ
∂
x
=
f
(
x
)
μ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial x}}=f(x)\mu (x)}
che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine, la cui soluzione è:
μ
(
x
)
=
e
∫
f
(
x
)
=
e
∫
(
∂
p
∂
y
−
∂
q
∂
x
)
q
{\displaystyle \mu (x)=e^{\int f(x)}=e^{\int {\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)}{q}}}}
Sostituendo dunque
μ
{\displaystyle \mu }
[
μ
p
(
x
,
y
)
]
d
x
+
[
μ
q
(
x
,
y
)
]
d
y
=
0
{\displaystyle [\mu p(x,y)]dx+[\mu q(x,y)]dy=0}
che si risolve come nel caso precedente. Nulla cambia nel procedimento scegliendo nulla la derivata di
μ
{\displaystyle \mu }
y
{\displaystyle y}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Sia dato:
y
2
2
log
x
d
x
+
y
d
y
=
0
{\displaystyle {\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {log} xdx+ydy=0}
Una soluzione banale è
y
=
0
{\displaystyle y=0}
p
{\displaystyle p}
y
{\displaystyle y}
q
{\displaystyle q}
x
{\displaystyle x}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
(
x
)
=
e
∫
(
∂
p
∂
y
−
∂
q
∂
x
)
q
=
e
∫
y
log
x
−
0
y
=
e
x
log
x
−
x
=
x
x
e
−
x
{\displaystyle \mu (x)=e^{\int {\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)}{q}}}=e^{\int {\frac {y\operatorname {log} x-0}{y}}}=e^{x\operatorname {log} x-x}=x^{x}e^{-x}}
Sostituendo:
x
x
e
−
x
y
2
2
log
x
d
x
+
x
x
e
−
x
y
d
y
=
0
{\displaystyle x^{x}e^{-x}{\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {log} xdx+x^{x}e^{-x}ydy=0}
integrando
p
{\displaystyle p}
x
{\displaystyle x}
∫
x
x
e
−
x
y
2
2
log
x
d
x
=
y
2
2
x
x
e
−
x
{\displaystyle \int {x^{x}e^{-x}{\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {log} xdx}={\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}}
derivando rispetto ad
y
{\displaystyle y}
y
x
x
e
−
x
{\displaystyle yx^{x}e^{-x}}
P
(
x
,
y
)
=
y
2
2
x
x
e
−
x
+
∫
(
x
x
e
−
x
y
−
y
x
x
e
−
x
)
d
y
+
C
=
y
2
2
x
x
e
−
x
+
C
{\displaystyle P(x,y)={\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}+\int {(x^{x}e^{-x}y-yx^{x}e^{-x}})dy+C={\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}+C}
la soluzione implicita è:
y
2
2
x
x
e
−
x
=
C
{\displaystyle {\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}=C}
da cui:
y
=
±
2
C
1
x
x
e
−
x
=
±
2
C
e
x
x
x
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {2C}}{\sqrt {\frac {1}{x^{x}e^{-x}}}}=\pm {\sqrt {2C}}{\sqrt {\frac {e^{x}}{x^{x}}}}}
Un secondo metodo consiste nel cercare una
μ
{\displaystyle \mu }
μ
(
x
,
y
)
=
g
(
x
y
)
{\displaystyle \mu (x,y)=g(xy)}
In questo caso si ha:
∂
μ
∂
x
=
∂
g
∂
x
y
∂
μ
∂
y
=
∂
g
∂
y
x
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}y\qquad {\frac {\partial \mu }{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial y}}x}
che combinate danno:
∂
μ
∂
x
=
y
x
∂
μ
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {y}{x}}{\frac {\partial \mu }{\partial y}}}
e sostituendo nell'equazione con le derivate esplicite:
μ
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
+
p
(
x
,
y
)
∂
μ
∂
y
=
μ
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
+
y
x
q
(
x
,
y
)
∂
μ
∂
y
{\displaystyle \mu {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}+p(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}+{\frac {y}{x}}q(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}}
Risolvendo rispetto a
μ
′
{\displaystyle \mu '}
∂
μ
∂
y
[
p
(
x
,
y
)
−
y
x
q
(
x
,
y
)
]
=
μ
[
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
−
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
]
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial y}}\left[p(x,y)-{\frac {y}{x}}q(x,y)\right]=\mu \left[{\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}\right]}
e con alcuni passaggi si ottiene:
1
x
∂
μ
∂
y
=
μ
∂
q
(
x
,
y
)
∂
x
−
∂
p
(
x
,
y
)
∂
y
x
p
(
x
,
y
)
−
y
q
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {{\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}}{xp(x,y)-yq(x,y)}}}
Se si effettua una sostituzione
z
=
x
y
{\displaystyle z=xy}
z
y
=
x
{\displaystyle z_{y}=x}
∂
μ
∂
z
=
μ
(
z
)
∂
q
∂
x
−
∂
p
∂
y
x
p
−
y
q
=
f
(
x
,
y
)
μ
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial z}}=\mu (z){\frac {{\frac {\partial q}{\partial x}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}}{xp-yq}}=f(x,y)\mu (z)}
Per quanto detto,
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
z
=
x
y
{\displaystyle z=xy}
μ
(
z
)
=
e
∫
f
(
z
)
=
e
∫
∂
q
∂
x
−
∂
p
∂
y
x
p
−
y
q
{\displaystyle \mu (z)=e^{\int f(z)}=e^{\int {\frac {{\frac {\partial q}{\partial x}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}}{xp-yq}}}}
Sostituendo quindi
μ
{\displaystyle \mu }
![{\displaystyle q(x,y)={\frac {\partial \left[{\int {p(x,y)dx}+f(y)}\right]}{\partial y}}=\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}+f'(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e54e8b7f0d7242dcd4fdb79c15dc850901a0225)
![{\displaystyle f'(y)=q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1904adf4eb2ebb727aae8804019da81bb35bdf7e)
![{\displaystyle f(y)=\int {\left\{q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}\right\}dy}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871e9231b7fcdf5f503037ebbe9cc30bb96329c9)
![{\displaystyle P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+\int {\left\{q(x,y)-\left[\int {p(x,y)dx}\right]_{y}\right\}dy}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039053d150b7ce9f9eaec18fdcbc0c09af86ed6f)
![{\displaystyle Q(x,y)=\int {q(x,y)dy}+\int {\left\{p(x,y)-\left[\int {q(x,y)dy}\right]_{x}\right\}dx}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4a8c6b62dce75589b174c7c89115012299aeec)
![{\displaystyle \int {\left\{q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}\right\}dy}=\int {\left[y(2\operatorname {log} x-3)-\left({y^{2}\operatorname {log} x}\right)_{y}\right]dy}=-\int {3ydy}=-{\frac {3}{2}}y^{2}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38aabddd6f81dee8bb546a2c1af57c30211fdb76)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{p\neq q:}&x=e^{\int {{\frac {q(v)}{c[q(v)-p(v)]}}dv}}\\&{p=q:}&xy=c\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d9d31133d93b7b1f7b7814058622ff0fcf512a)
![{\displaystyle {\frac {\partial [\mu p(x,y)]}{\partial y}}={\frac {\partial [\mu q(x,y)]}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4d1f99f5e4359098bbf2a9d8c5d933fbbbdd32)
![{\displaystyle [\mu p(x,y)]dx+[\mu q(x,y)]dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d2abd9a0d4865aa7010e5b977c5d9485fc8938)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial y}}\left[p(x,y)-{\frac {y}{x}}q(x,y)\right]=\mu \left[{\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ba10876b6dcd2f6d7df04efa16c33d12f97c9b)
