Esadecacoro
In geometria quadridimensionale, l'esadecacoro (detto anche 16-cella o 4-ortoplesso) è uno dei sei policori regolari. È una naturale estensione in dimensione 4 dell'ottaedro.
Esadecacoro 16-cella | |
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Diagramma di Schlegel del policoro | |
Tipo | Policoro regolare |
Forma celle | tetraedri regolari |
Nº celle | 16 tetraedri regolari |
Nº facce | 32 triangoli equilateri |
Nº spigoli | 24 |
Nº vertici | 8 |
Cuspidi dei vertici | (ottaedro regolare) |
Simbolo di Schläfli | {3,3,4} |
Duale | ipercubo |
Proprietà | convesso, regolare |
Come l'ottaedro è il poliedro duale del cubo, l'iperottaedro è il politopo duale dell'ipercubo.
Descrizione
modificaDa un punto di vista matematico, una 16-cella è l'inviluppo convesso di 8 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale , ad esempio:
Ogni coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo.
Facce
modificaCome tutti i politopi, l'esadecacoro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...
- L'esadecacoro ha 8 vertici.
- Ciascuna coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 8*6/2 = 24 spigoli.
- Ciascuna tripla di vertici a coppie non opposti determina una faccia: ci sono quindi 8*6*4/3! = 32 facce (triangolari).
- Ciascuna 4-upla di vertici a coppie non opposti determina una 3-faccia: ci sono quindi 8*6*4*2/4! = 16 facce tridimensionali (tetraedri).
Ogni vertice è collegato a 6 spigoli, 12 facce e 8 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).
Proiezioni
modificaUn poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo ).
Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un iperottaedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.
La 16-cella mostrata in una proiezione ortogonale nel suo poligono di Petrie, con tutti i vertici connessi tra loro tranne quelli opposti. |
4-ortoplesso in un poligono di Petrie di ordine 6 con 2 vertici proiettati al centro |
4-ortoplesso in un poligono di Petrie di ordine 4 come un tesseratto alternato |
Tesseratto |
Sviluppo
modificaLo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 16 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.
Dualità
modificaL'iperottaedro è duale del tesseratto.
Relazione di Eulero
modificaPer questo politopo vale la relazione di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:
In questo caso 8 + 32 = 24 + 16.
Modello
modificaPer la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.
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16-cella – (versione implosa)
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16-cella – (versione esplosa)
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Sviluppo della 16-cella
Bibliografia
modifica- Henry Martin Cundy e A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
- Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
- Luigi Berzolari, G. Vivanti e D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1983 [1929], ISBN 88-203-0267-5.
Altri progetti
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