Esamino
Un esamino è un polimino di ordine 6, ovvero un poligono nel piano composto di 6 quadrati identici collegati tra di loro tramite lati in comune. Come con gli altri casi di polimini, si tende a non considerare le rotazioni e riflessioni di un esamino come forme diverse; data per buona questa convenzione, esistono esattamente 35 esamini diversi.
La figura illustra tutti gli esamini esistenti, colorati in base ai loro gruppi di simmetria:
- 20 esamini (quelli neri) non hanno alcuna simmetria. Il loro gruppo di simmetria consiste nella sola identità.
- 6 esamini (quelli rossi) hanno un asse di simmetria parallelo ad alcuni bordi (ed ortogonale agli altri). I loro gruppi di simmetria contengono due elementi: l'identità e la riflessione lungo tale asse.
- 2 esamini (quelli verdi) hanno un asse di simmetria inclinato di 45° rispetto ai bordi. I loro gruppi di simmetria hanno sempre due elementi: l'identità e la riflessione lungo tale asse diagonale.
- 5 esamini (quelli blu) hanno una simmetria centrale (simmetria rotazionale di ordine 2). I loro gruppi di simmetria contengono due elementi: l'identità e tale simmetria.
- 2 esamini (quelli viola) hanno due diversi assi di simmetria, entrambi allineati con la griglia. Il loro gruppo di simmetria contiene quattro elementi: l'identità, le riflessioni lungo questi due assi e la composizione di queste due riflessioni (che è una simmetria centrale).
Se decidiamo invece di non considerare uguali due esamini che siano uno speculare all'altro ma non sovrapponibili, la prima e la quarta delle categorie date raddoppiano di dimensione e si ottengono 25 nuovi esamini, per un totale di 60.
Riempimento e tassellature modifica
Nonostante un set completo di 35 esamini consti di un totale di 210 quadrati, non è possibile utilizzarli per riempire un rettangolo senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti (ciò è invece possibile con i 12 pentamini, che possono essere disposti in un rettangolo 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o 6 × 10). Un modo semplice per dimostrarlo si basa su uno studio della parità: se disponiamo gli esamini su una scacchiera, si verifica facilmente che 11 di essi copriranno un numero pari di caselle nere (2 o 4) mentre ognuno degli altri 24 coprirà 3 caselle nere e 3 bianche. Quindi il totale di caselle bianche coperte sarà pari, mentre qualsiasi rettangolo composto da 210 quadrati di una scacchiera avrà 105 quadrati bianchi e 105 neri.
Ci sono tuttavia altre semplici figure composte da 210 quadrati che possono essere riempite con un set completo di esamini; ad esempio, un quadrato 15 × 15 con un buco 3 × 5 al centro; l'argomento sopra utilizzato della parità non vale più (tale figura conterrà 106 quadrati bianchi e 104 neri, o viceversa), e si verifica che in effetti tale riempimento è possibile—si veda [1]. Inoltre, dati due set completi di esamini, è possibile riempire un rettangolo di dimensione 420.
Ognuno dei 35 esamini può fungere da modulo base per una tassellazione del piano.
Sviluppi piani del cubo modifica
Uno sviluppo piano del cubo è necessariamente un esamino, e per la precisione gli esamini sviluppi piani del cubo sono 11, raffigurati nella figura di destra (di nuovo, colorati in base ai loro gruppi di simmetria).
Altri progetti modifica
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Collegamenti esterni modifica
- (EN) Esamini, simmetrie, riempimenti e altri aspetti, di Jürgen Köller
- (EN) Pagina sui polimini dal Geometry Junkyard di David Eppstein
- (FR) Animazioni degli 11 sviluppi del cubo, su perso.wanadoo.fr.
- (EN) Tassellature con polimini, di Steven Dutch.
