Fibrato vettoriale

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa a ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il nastro di Möbius ha una struttura di fibrato vettoriale su una circonferenza.

Il fibrato tangente e il fibrato cotangente sono due esempi.

Definizione

Un fibrato vettoriale reale è un fibrato che ha come fibra uno spazio vettoriale, cioè è una funzione continua suriettiva $p\colon E\to B$ fra spazi topologici tale che la controimmagine $p^{-1}(x)$ di ogni punto $x\in B,$ detta fibra sopra il punto $x,$ sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di $x$. Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto $x$ dello spazio base $B$ esiste un intorno aperto $U$ del punto $x$ e un omeomorfismo:

$\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{k},$

tale che:

$\mathrm {pr} _{1}\circ \phi =p$

dove $\mathrm {pr} _{1}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to U$ è la proiezione sul primo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo:

$\phi |_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x')\to \lbrace x'\rbrace \times \mathbb {R} ^{k},$

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto ${x'}$ dell'aperto $U.$

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

• Fibra (matematica)
• Fibrato
• Fibrato tangente
• Spazio vettoriale
• Varietà differenziabile
• Varietà topologica

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Collegamenti esterni

• Luca Tomassini, fibrato vettoriale, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• (EN) vector bundle, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Fibrato vettoriale, su MathWorld, Wolfram Research.