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Spazio vettoriale

struttura algebrica
(Reindirizzamento da Spazio vettoriale complesso)

In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da:

  • un campo, i cui elementi sono detti scalari;
  • un insieme, i cui elementi sono detti vettori;
  • due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.[1]

Si tratta di una struttura algebrica di grande importanza, ed è una generalizzazione dell'insieme formato dai vettori del piano cartesiano ordinario (o dello spazio tridimensionale) dotati delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Gli spazi vettoriali più utilizzati sono quelli sui campi reale e complesso , denominati rispettivamente "spazi vettoriali reali" e "spazi vettoriali complessi".

Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: questi servono innanzitutto per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e delle equazioni differenziali lineari. Con queste equazioni si trattano moltissime situazioni: quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella teoria dei segnali, nella biologia molecolare, ecc. Negli spazi vettoriali si studiano anche sistemi di equazioni e disequazioni e in particolare quelli che servono alla programmazione matematica e in genere alla ricerca operativa.

Strutture algebriche preliminari agli spazi vettoriali sono quelle di gruppo, anello e campo. Vi sono poi numerose strutture matematiche che generalizzano e arricchiscono quella di spazio vettoriale; alcune sono ricordate nell'ultima parte di questo articolo.

Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati "vettori", che possono essere sommati e riscalati.

Indice

DefinizioneModifica

Uno spazio vettoriale su un campo   è un insieme   dotato di due operazioni che soddisfano una certa lista di assiomi. Gli elementi di   sono detti vettori e quelli di   scalari. Le operazioni sono:

  • una somma che prende due vettori   e restituisce un altro vettore indicato con  ,
  • un prodotto per scalare che prende un vettore   e uno scalare   e restituisce un altro vettore indicato con  .

Gli assiomi che queste due operazioni devono soddisfare sono i seguenti[2][3]:

  • l'insieme   con la somma è un gruppo abeliano: esiste quindi un elemento neutro 0, la somma è commutativa e associativa, e ogni vettore   ha un opposto che è normalmente indicato con  
  • distributività del prodotto di tre termini per uno scalare rispetto all'addizione di vettori:
 
  • pseudo-distributività[4] del prodotto per scalare rispetto all'addizione di scalari:
 
  • compatibilità del prodotto tra scalari e del prodotto per scalari (pseudo-associatività[5]):
 
  • neutralità di 1 rispetto al prodotto per scalare:
 

Si usano generalmente alfabeti diversi per vettori e scalari: ad esempio, i vettori si simboleggiano con caratteri in grassetto, sottolineati o sormontati da una freccia. Da queste proprietà, possono essere immediatamente dimostrate le seguenti formule, valide per ogni   e ogni  :

 

dove   è l'elemento neutro dell'addizione in   e   è l'elemento neutro dell'addizione in  

Uno spazio vettoriale reale o complesso è uno spazio vettoriale in cui   è rispettivamente il campo   dei numeri reali o il campo   dei numeri complessi.

Una nozione correlata è quella di modulo.

Primi esempiModifica

Di seguito si elencano alcuni importanti esempi di  -spazi vettoriali. Siano   due interi positivi.

Spazi KnModifica

L'insieme:

 

formato da tutte le sequenze finite e ordinate di elementi di  , con le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare definite termine a termine (puntuali), è detto l' -spazio numerico, spazio delle  -uple o spazio  -dimensionale delle coordinate e può essere considerato il prototipo di  -spazio vettoriale.

Si osserva che gli spazi   e   posseggono una infinità continua di elementi, mentre   ha cardinalità numerabile e per ogni   primo lo spazio   è costituito da un numero finito di vettori, per la precisione  

PolinomiModifica

L'insieme   dei polinomi a coefficienti in   e con variabile  , con le operazioni usuali di somma fra polinomi e prodotto di un polinomio per uno scalare, forma un  -spazio vettoriale.

MatriciModifica

L'insieme delle matrici   con le operazioni di somma tra matrici e prodotto di uno scalare per una matrice, è un  -spazio vettoriale.

FunzioniModifica

L'insieme   (denotato anche   ) di tutte le funzioni da un fissato insieme   in  , dove:

  • La somma di due funzioni   e   è definita come la funzione   che manda   in  ;
  • Il prodotto   di una funzione   per uno scalare   in   è la funzione che manda   in  .

Da notare che  ,  ,   sono casi particolari di quest'ultimo rispettivamente con  

Altro esempio, l'insieme   di tutte le funzioni da un aperto   dello spazio euclideo   in  , è un  -spazio vettoriale.

Nozioni basilariModifica

Lo studio della specie di struttura di spazio vettoriale si svolge sviluppando le nozioni di sottospazio vettoriale, di trasformazione lineare (l'omomorfismo per questa specie di struttura), di base e di dimensione.

SottospaziModifica

 
Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in  : sono piani passanti per l'origine. Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1, cioè una retta passante per l'origine (una di queste è disegnata in blu).
 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottospazio vettoriale.

Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale   è un sottoinsieme   che eredita da   una struttura di spazio vettoriale. Per ereditare questa struttura, è sufficiente che   sia non vuoto e sia chiuso rispetto alle due operazioni di somma e prodotto per scalare. In particolare,   deve contenere lo zero di  .

EsempiModifica

Una retta passante per l'origine è un sottospazio vettoriale del piano cartesiano  ; nello spazio vettoriale   tutti i piani e tutte le rette passanti per l'origine sono sottospazi.

Gli spazi formati dalle matrici simmetriche o antisimmetriche sono sottospazi vettoriali dell'insieme delle matrici   su  .

Altri importanti sottospazi vettoriali sono quelli di  , quando   è un insieme aperto di  : gli insiemi formati dalle funzioni continue, dalle funzioni differenziabili e dalle funzioni misurabili.

Generatori e basiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Combinazione lineare e Base (algebra lineare).

Una combinazione lineare di alcuni vettori   è una scrittura del tipo:

 

Una combinazione lineare è l'operazione più generale che si può realizzare con questi vettori usando le due operazioni di somma e prodotto per scalare. Usando le combinazioni lineari è possibile descrivere un sottospazio (che è generalmente fatto da un insieme infinito di vettori) con un numero finito di dati. Si definisce infatti il sottospazio generato da questi vettori come l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari.

Un sottospazio può essere generato a partire da diversi insiemi di vettori. Tra i possibili insiemi di generatori alcuni risultano più economici di altri: sono gli insiemi di vettori con la proprietà di essere linearmente indipendenti. Un tale insieme di vettori è detto base del sottospazio.

Si dimostra che ogni spazio vettoriale possiede una base; alcuni spazi hanno basi costituite da un numero finito di vettori, altri hanno basi costituenti insiemi infiniti. Per questi ultimi la dimostrazione dell'esistenza di una base deve ricorrere al lemma di Zorn.

Alla nozione di base di uno spazio vettoriale si collega quella di sistema di riferimento di uno spazio affine.

DimensioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Dimensione (spazio vettoriale).

Si dimostra che tutte le basi di uno spazio vettoriale posseggono la stessa cardinalità (questo risultato è dovuto a Felix Hausdorff). Questa cardinalità viene chiamata dimensione di Hamel dello spazio; questa entità in genere viene chiamata semplicemente dimensione dello spazio. La distinzione più rilevante fra gli spazi vettoriali vede da una parte gli spazi finito-dimensionali e dall'altra quelli di dimensione infinita.

Per ogni intero naturale   lo spazio   ha dimensione  : in effetti una sua base è costituita dalle    -uple aventi tutte le componenti nulle con l'eccezione di una uguale alla unità del campo. In particolare l'insieme costituito dal solo   del campo può considerarsi uno spazio a   dimensioni, la retta dotata di un'origine è uno spazio unidimensionale su  , il piano cartesiano è uno spazio di dimensione   lo spazio   ha dimensione  

Anche i polinomi con grado al più   formano un sottospazio vettoriale di dimensione   mentre la dimensione dell'insieme delle funzioni   è pari alla cardinalità di  .

Tra gli spazi infinito dimensionali si trovano quelli formati dall'insieme dei polinomi in una variabile o in più variabili e quelli formati da varie collezioni di funzioni ad esempio gli spazi Lp.

I vettori di uno spazio di   dimensioni, facendo riferimento a una base fissata di tale spazio, possono essere rappresentati come  -uple di scalari: queste sono le loro coordinate. Questo fatto consente di affermare che ogni spazio  -dimensionale su   è sostanzialmente identificabile con  .

Trasformazioni lineari e omomorfismiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare e Omomorfismo.

Una trasformazione lineare fra due spazi vettoriali   e   sullo stesso campo   è una applicazione che manda vettori di   in vettori di   rispettando le combinazioni lineari. Dato che le trasformazioni lineari rispettano le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazioni per scalari, esse costituiscono gli omomorfismi per le strutture della specie degli spazi vettoriali. Per denotare l'insieme degli omomorfismi da   in   si scrive  . Particolarmente importanti sono gli insiemi di endomorfismi; questi hanno la forma  .

Si osserva che per le applicazioni lineari di   si possono definire le somme e le moltiplicazioni per elementi di  , come per tutte le funzioni aventi valori in uno spazio su questo campo. L'insieme   munito di queste operazioni costituisce a sua volta uno spazio vettoriale su  , di dimensione  . Un caso particolare molto importante è dato dallo spazio duale  , che ha le stesse dimensioni di  .

Spazio vettoriale liberoModifica

Un esempio particolare spesso usato in algebra (e una costruzione piuttosto comune in questo campo) è quello di spazio vettoriale libero su un insieme. L'obiettivo è creare uno spazio che abbia gli elementi dell'insieme come base. Ricordando che, dato un generico spazio vettoriale, si dice che un suo sottoinsieme   è una base se gli elementi di   sono linearmente indipendenti e ogni vettore si può scrivere come combinazione lineare finita di elementi di  , la seguente definizione nasce naturalmente: uno spazio vettoriale libero   su   e campo   è l'insieme di tutte le combinazioni lineari formali di un numero finito di elementi di   a coefficienti in  , cioè i vettori di   sono del tipo:

 

dove i coefficienti non nulli sono in numero finito, e somma e prodotto sono definite come segue:

 
 

Da tener ben presente che queste somme sono dette formali perché sono da considerarsi appunto dei puri simboli. In pratica gli elementi di   servono solo come "segnaposto" per i coefficienti. Oltre a questa definizione più intuitiva ne esiste una del tutto equivalente in termine di funzioni da   su   con supporto finito  , cioè:

 

dove per il secondo insieme le operazioni di somma e prodotto sono quelle naturali e la corrispondenza è:

 

Spazi vettoriali con strutture aggiuntiveModifica

La nozione di spazio vettoriale è servita innanzi tutto a puntualizzare proprietà algebriche riguardanti ambienti ed entità geometriche; inoltre essa costituisce la base algebrica per lo studio di questioni di analisi funzionale, che si può associare a una geometrizzazione dello studio di funzioni collegate a equazioni lineari. La sola struttura di spazio vettoriale risulta comunque povera quando si vogliono affrontare in modo più efficace problemi geometrici e dell'analisi funzionale. Infatti va osservato che con la sola struttura di spazio vettoriale non si possono affrontare questioni riguardanti lunghezze di segmenti, distanze e angoli (anche se la visione intuitiva degli spazi vettoriali a   o   dimensioni sembra implicare necessariamente queste nozioni di geometria elementare).

Per sviluppare le "potenzialità" della struttura spazio vettoriale risulta necessario arricchirla in molteplici direzioni, sia con ulteriori strumenti algebrici (ad es. proponendo prodotti di vettori), sia con nozioni topologiche, sia con nozioni differenziali. In effetti si può prospettare una sistematica attività di arricchimento degli spazi vettoriali con costruzioni che si aggiungono a quella di combinazione lineare al fine di ottenere strutture di elevata efficacia nei confronti di tanti problemi matematici, computazionali e applicativi. Per essere utili, queste costruzioni devono essere in qualche modo compatibili con la struttura dello spazio vettoriale, e le condizioni di compatibilità variano caso per caso.

Spazio normatoModifica

Uno spazio vettoriale in cui è definita una norma, cioè una lunghezza dei suoi vettori, è chiamato spazio normato. L'importanza degli spazi vettoriali normati dipende dal fatto che a partire dalla norma dei singoli vettori si definisce la distanza fra due vettori come norma della loro differenza e questa nozione consente di definire costruzioni metriche e quindi costruzioni topologiche.

Spazio di BanachModifica

Uno spazio normato completo rispetto alla metrica indotta è detto spazio di Banach.

Spazio di HilbertModifica

Uno spazio vettoriale complesso (risp. reale) in cui è definito un prodotto scalare hermitiano (risp. bilineare) definito positivo, e quindi anche i concetti di angolo e perpendicolarità di vettori, è chiamato spazio prehilbertiano. Uno spazio dotato di prodotto scalare è anche normato, mentre in generale non vale il viceversa.

Uno spazio dotato di prodotto scalare che sia completo rispetto alla metrica indotta è detto spazio di Hilbert.

Spazio vettoriale topologicoModifica

Uno spazio vettoriale munito anche di una topologia è chiamato spazio vettoriale topologico.

Algebra su campoModifica

Uno spazio vettoriale arricchito con un operatore bilineare che definisce una moltiplicazione tra vettori costituisce una cosiddetta algebra su campo. Ad esempio, le matrici quadrate di ordine   munite del prodotto di matrici formano un'algebra. Un'altra algebra su un campo qualsiasi è fornita dai polinomi su tale campo muniti dell'usuale prodotto fra polinomi.

GeneralizzazioniModifica

 
Un nastro di Möbius: è localmente omeomorfo a  .

Fibrati vettorialiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Fibrato vettoriale e Fibrato tangente.

Un fibrato vettoriale è una famiglia di spazi vettoriali parametrizzata con continuità da uno spazio topologico  . Nello specifico, un fibrato vettoriale su   è uno spazio topologico   equipaggiato con una funzione continua   tale che per ogni   la fibra   è uno spazio vettoriale.

ModuliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Modulo (matematica).

Un modulo è per un anello quello che uno spazio vettoriale è per un campo. Sebbene valgano gli stessi assiomi che si applicano ai campi, la teoria dei moduli è complicata dalla presenza di elementi (degli anelli) che non possiedono reciproco.

Spazi affiniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio affine.

Intuitivamente, uno spazio affine è uno spazio vettoriale la cui origine non è fissata. Si tratta di un insieme   dotato di una funzione  , dove   è uno spazio vettoriale su un campo  , generalmente indicata con il segno  :

 

tale che:[6]

  • Per ogni punto   fissato, l'applicazione che associa al vettore   il punto   è una biiezione da   in  .
  • Per ogni punto   in   e ogni coppia di vettori   in   vale la relazione:
 

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 28
  2. ^ S. Lang, Pag. 37
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 29
  4. ^ La proprietà distributiva riguarda due sole operazioni, mentre in questo caso sono coinvolte tre operazioni: l'addizione di scalari ( ), la moltiplicazione di un vettore per uno scalare ( ) e l'addizione di vettori ( )
  5. ^ La proprietà associativa riguarda una sola operazione, mentre in questo caso sono coinvolte due operazioni: la moltiplicazione scalare sul campo   e la moltiplicazione per uno scalare
  6. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989, p. 102.

BibliografiaModifica

  • Marco Abate, Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Milano, McGraw-Hill, 2006, ISBN 88-386-6289-4.
  • Silvana Abeasis, Elementi di algebra lineare e geometria, Bologna, Zanichelli, 1993, ISBN 88-08-16538-8.
  • Giulio Campanella, Appunti di algebra, Roma, Nuova Cultura, 2005, ISBN 88-89362-22-7.
  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Luciano Lomonaco, Un'introduzione all'algebra lineare, Roma, Aracne, 2005, ISBN 88-548-0144-5.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 1, 2ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1989, ISBN 88-339-5447-1.
  • (EN) Werner Greub, Linear Algebra, 4ª ed., New York, Springer, 1995, ISBN 0-387-90110-8.
  • (EN) Paul Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, 2ª ed., New York, Springer, 1974, ISBN 0-387-90093-4.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Serge Lang, Linear Algebra, 3ª ed., New York, Springer, 1987, ISBN 0-387-96412-6.
  • (EN) Steven Roman, Advanced linear algebra, Springer, 1992, ISBN 0-387-97837-2.
  • (EN) Georgi Evgen'evich Shilov, Linear Algebra, Tradotto da Richard Silverman, New York, Dover, 1977, ISBN 0-486-63518-X.

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