Funzionale di Minkowski

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un funzionale di Minkowski è una funzione che richiama il concetto di distanza tipico degli spazi vettoriali.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale reale o complesso $X$ ed un suo sottoinsieme $K$, si definisce il corrispondente funzionale di Minkowski:

$p_{K}:X\rightarrow [0,\infty )$

come:

$p_{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}$

Tale funzionale è spesso detto gauge di $K$.

Si assume implicitamente nella definizione che $0\in K$ e che l'insieme $\{r>0:x\in rK\}$ non è vuoto. Affinché $p_{K}$ goda delle proprietà di una seminorma è necessario imporre alcune restrizioni sulla scelta di $K$:

• L'insieme $K$ è un insieme convesso, in modo che $p_{K}$ è subadditiva.
• Se $K$ è un insieme bilanciato, ovvero $\alpha K\subset K$ per tutti gli $|\alpha |\leq 1$, si ha che $p_{K}(\alpha x)=|\alpha |p_{K}(x)$ per ogni $\alpha$, in modo che $p_{K}$ è omogenea.

Un insieme $K$ con tali proprietà è detto assolutamente convesso.

Ad esempio, si consideri uno spazio normato $X$ con norma $\|\cdot \|$, e sia $K'$ la sfera unitaria in $X$. La funzione $p:X\to \mathbb {R}$ data da:

$p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK'\right\}$

è la norma $p(x)=\|x\|$ su $X$. Si tratta di un esempio di funzionale di Minkowski.

Convessità e bilanciatezza di K

Il fatto che $K$ è un insieme convesso implica la subadditività di $p_{K}$. Infatti, si supponga che $p_{K}(x)=p_{K}(y)=r$. Allora per tutti gli $\epsilon >0$ si ha $x,y\in (r+\epsilon )K=K'$. L'assunzione che $K$ sia convesso implica che lo è anche $K'$, e quindi $x/2+y/2\in K'$. Per definizione di funzionale di Minkowski $p_{K}$ si ha:

$p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon$

Ma il membro di sinistra è $1/2[p_{K}(x+y)]$, cioè la precedente relazione diventa:

$p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \qquad \forall \epsilon >0$

che è la disuguaglianza cercata. Il caso generale $p_{K}(x)>p_{K}(y)$ segue in modo ovvio.

Si nota che la convessità di $K$, insieme all'assunzione che $\{r>0:x\in rK\}$ non è vuoto, implica che $K$ è un insieme assorbente.

Il fatto che $K$ sia bilanciato implica inoltre che $\lambda x\in rK$ se e solo se $x\in (r/|\lambda |)K$, e quindi:

$p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x)$

Esempio

Dato uno spazio vettoriale $X$ sul campo $F$, sia $X'$ il suo duale algebrico e siano $\phi \in X'$ i funzionali lineari definiti su $X$ che lo costituiscono. Si consideri l'insieme $K$ dato da:

$K=\{x\in X:|\phi (x)|\leq a\}\qquad a>0$

e si definisca:

$p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}$

Allora:

$p(x)={\frac {1}{a}}|\phi (x)|$

La funzione (non-negativa) $p(x)$ è un esempio di funzionale di Minkowski che è:

• subadditivo, ovvero $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
• omogeneo, ovvero $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ per tutti gli $\alpha \in K$.

Quindi $p$ è una seminorma su $X$, che lo munisce di una topologia. Si nota che $p(x)=0$ non implica $x=0$, e di conseguenza la topologia risultante da una famiglia di tali seminorme non è di Hausdorff.

Bibliografia

• (EN) Anthony C. Thompson, Minkowski Geometry, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-40472-X.

Voci correlate

• Funzione subadditiva
• Insieme convesso
• Seminorma
• Spazio botte

Collegamenti esterni

• (EN) Minkowski functional, in PlanetMath.
• (EN) Properties of Minkowski’s functional, in PlanetMath.