In matematica , una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.
Più precisamente, se
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
d
X
(
x
,
y
)
{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y)}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
X
{\displaystyle X}
Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora
f
{\displaystyle f}
isometria .
Se
X
{\displaystyle X}
spazio normato ,
S
{\displaystyle S}
compatto e convesso e
T
:
S
→
S
{\displaystyle T:S\to S}
T
{\displaystyle T}
punto fisso , cioè esiste un
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
T
(
x
)
=
x
{\displaystyle T(x)=x}
Per ogni
n
{\displaystyle n}
numero naturale e per un fissato
x
0
{\displaystyle x_{0}}
S
{\displaystyle S}
f
n
(
x
)
=
(
1
−
k
n
)
x
0
+
k
n
T
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)=(1-k_{n})x_{0}+k_{n}T(x)}
(
k
n
)
n
∈
N
⊂
(
0
,
1
)
{\displaystyle (k_{n})_{n\in N}\subset (0,1)}
successione di numeri reali convergente a 1. È
‖
f
n
(
x
)
−
f
n
(
y
)
‖
=
‖
k
n
(
T
(
x
)
−
T
(
y
)
‖
=
k
n
‖
T
(
x
)
−
T
(
y
)
‖
<
‖
T
(
x
)
−
T
(
y
)
‖
≤
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle \|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|=\|k_{n}(T(x)-T(y)\|=k_{n}\|T(x)-T(y)\|<\|T(x)-T(y)\|\leq \|x-y\|}
dunque per ogni
n
{\displaystyle n}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
contrazione ; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso
x
n
{\displaystyle x_{n}}
Sia
(
x
n
)
n
{\displaystyle (x_{n})_{n}}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
(
x
p
)
p
⊂
(
x
n
)
n
{\displaystyle (x_{p})_{p}\subset (x_{n})_{n}}
S
{\displaystyle S}
y
{\displaystyle y}
‖
y
−
T
(
y
)
‖
≤
‖
y
−
x
p
‖
+
‖
x
p
−
T
(
x
p
)
‖
+
‖
T
(
x
p
)
−
T
(
y
)
‖
{\displaystyle \|y-T(y)\|\leq \|y-x_{p}\|+\|x_{p}-T(x_{p})\|+\|T(x_{p})-T(y)\|}
Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su
x
p
{\displaystyle x_{p}}
T
{\displaystyle T}
‖
x
p
−
T
(
x
p
)
‖
=
‖
f
p
(
x
p
)
−
T
(
x
p
)
‖
=
‖
(
1
−
k
p
)
x
0
+
k
p
T
(
x
p
)
−
T
(
x
p
)
‖
{\displaystyle \|x_{p}-T(x_{p})\|=\|f_{p}(x_{p})-T(x_{p})\|=\|(1-k_{p})x_{0}+k_{p}T(x_{p})-T(x_{p})\|}
dunque quando
p
→
∞
{\displaystyle p\to \infty }
norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a
T
(
y
)
{\displaystyle T(y)}
‖
x
p
−
T
(
x
p
)
‖
→
0
{\displaystyle \|x_{p}-T(x_{p})\|\to 0}
Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è
0
≤
‖
y
−
T
(
y
)
‖
≤
0
{\displaystyle 0\leq \|y-T(y)\|\leq 0}
‖
y
−
T
(
y
)
‖
=
0
{\displaystyle \|y-T(y)\|=0}
y
=
T
(
y
)
{\displaystyle y=T(y)}
