Funzione propria

In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.

Definizione

Una funzione continua

$f\colon X\to Y$

fra spazi topologici è propria se la controimmagine $f^{-1}(K)$ di ogni sottoinsieme compatto $K$ di $Y$ è un insieme compatto in $X$.

Successioni divergenti

Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.

Esempi

Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ è propria. La controimmagine di un compatto connesso $[-a^{2},b^{2}]$ è infatti il compatto $[0,b]$.

Una funzione limitata $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ non è mai propria.

Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$, non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo $[0,1]$, che è un compatto, è $(-\infty ,0]$ che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione $f\colon [0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$ è propria.

Proprietà

• Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria.
• Ogni mappa propria ammette grado topologico.

Bibliografia

• (EN) Nicolas Bourbaki, General topology. Chapters 5--10, Elements of Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872.
• (EN) Peter Johnstone, Sketches of an elephant: a topos theory compendium, Oxford, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-851598-7., section C3.2 "Proper maps"
• (EN) Ronald Brown, Topology and groupoids, N. Carolina, Booksurge, 2006, ISBN 1-4196-2722-8., p. 90 "Proper maps".
• (EN) Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Voci correlate

• Funzione aperta
• Funzione chiusa
• Omeomorfismo
• Grado topologico
• Teorema di Sard

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione propria, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione propria, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.