Funzione propria

In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.

DefinizioneModifica

Una funzione continua

 

fra spazi topologici è propria se la controimmagine   di ogni sottoinsieme compatto   di   è un insieme compatto in  .

Successioni divergentiModifica

Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.

EsempiModifica

Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola   è propria. La controimmagine di un compatto connesso   è infatti il compatto  .

Una funzione limitata   non è mai propria.

Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione  , non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo  , che è un compatto, è   che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione   è propria.

ProprietàModifica

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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