Gruppo ortogonale

In matematica, il gruppo ortogonale di grado su un campo è il gruppo delle matrici ortogonali a valori in . Si indica con o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con .

Quando è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione Le matrici aventi determinante uguale a formano un sottogruppo, che si indica con , detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

DefinizioneModifica

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare   di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

 

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali[1].

Quando il campo   non è menzionato, si sottintende che   è il campo dei numeri reali  . In questa voce, parleremo soltanto del caso  .

Proprietà basilariModifica

Una matrice ortogonale ha determinante   oppure   Il sottoinsieme di   formato da tutte le matrici con determinante   è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con  . Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo   è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione   Il sottogruppo   è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

TopologiaModifica

Il gruppo   è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è  

Dimensioni basseModifica

  • Per  , il gruppo   consta di due elementi,   e  
  • Per  , il gruppo   è isomorfo al gruppo quoziente   dove   è l'insieme dei numeri reali e   il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con  , e topologicamente è una circonferenza.
  • Per  , il gruppo   è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come  

Gruppo fondamentaleModifica

Il gruppo fondamentale di   è   il gruppo dei numeri interi. Per ogni   il gruppo fondamentale di   è invece   il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con  , e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo   è chiamato gruppo Spin.

NoteModifica

  1. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, p. 58, ISBN 88-339-5548-6.

BibliografiaModifica

  • (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 88-339-5548-6.

Voci correlateModifica

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