Integrale di superficie

La definizione di integrale di superficie consiste nel suddividere una superficie in parti infinitesime tanto da poterle considerare piane.

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

Indice

DefinizioneModifica

Si definisce elemento di volume in   la k-forma:

 

Sia   una k-superficie positivamente orientata in   e   una funzione continua definita sull'immagine di   e a valori in  . Allora:

 

Sia   il dominio di parametrizzazione di   e   iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana   positiva. Allora:[1]

 

Se   l'integrale fornisce il volume della superficie.

Integrale di funzioni su 2-superfici in  Modifica

Sia   una 2-superficie in   con dominio di parametrizzazione  . Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni  ,   e   di due variabili indipendenti   e  :

 

Sia:

 

una funzione definita su  .

Ad ogni punto   del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:[2]

 

dove i vettori   appartengono alla base canonica di  .

Si definisce integrale di superficie di   sulla superficie   la scrittura:[3]

 

In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:

 

dove:

 

è l'elemento di superficie normale a  .

E  .

Se   l'integrale fornisce l'area della superficie:

 

Integrale di 2-forme su 2-superfici in  Modifica

Sia   una 2-superficie in   con dominio di parametrizzazione  . Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni  ,   e   di due variabili indipendenti   e  :

 

Sia:

 

una 2-forma definita su  .

Si definisce integrale di   su  

 

Interpretando la 2-forma   come un campo vettoriale   definito su   si ha:

 

dove   è il versore normale alla superficie   .

EsempioModifica

Sia   una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni  ,   e   di due variabili indipendenti   e  :

 

e sia   funzione continua dei punti   di detta superficie. Decomposta   in modo arbitrario in elementi  , si fissi su ciascuno di questi un punto  , e si formi il prodotto   del valore di   per ogni  . La somma di tali prodotti è indicata con  . Facendo aumentare indefinitamente il numero   degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree  , se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione   sulla superficie  . Viene indicato con   oppure con  .

La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana   proiezione della superficie   sul piano x-y.

Con lo spianamento della superficie   l'integrale in   si trasforma nel seguente integrale doppio:

 

ove   e  , che consente la valutazione dell'integrale di superficie.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 286
  2. ^ W. Rudin, Pag. 288
  3. ^ W. Rudin, Pag. 289

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • (EN) Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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