Lemma di Itō

In matematica, il lemma di Itō ("Formula di Itō") è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

Enunciato del lemma

Sia $x(t)$ un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, $x(t)$ soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dW_{t}

Sia inoltre una funzione $f$ , avente derivata seconda continua. Allora:

$f(x(t),t)$ è ancora un processo di Itō;

Si ha:

df(x(t),t)=\left(a(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(b(x,t))^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}

Giustificazione informale del risultato

Tramite un'espansione in serie di Taylor di $\ f(x(t),t)$ si ottiene:

df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+\cdots

Sostituendo $dx$ dalla SDE sopra si ha:

df={\frac {\partial f}{\partial x}}(adt+bdW_{t})+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(a^{2}dt^{2}+2ab\,dt\,dW_{t}+b^{2}dW_{t}^{2}\right)+\cdots

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in $dW^{2}$ vanno come quelli in $dt^{1}$ ; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in $dW^{2}$ . Passando al limite per $dt$ tendente a 0, i termini $dtdW_{t},dt^{2}$ scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro $(dW_{t})^{2}$ tende a $dt$ ; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

dW^{2}={\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)

se

{\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)=dt

Sostituendo questi risultati nell'espressione per $df$ si ottiene:

df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

Bibliografia

(EN) Kiyoshi Itō (1944). Stochastic Integral. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519-524. This is the paper with the Ito Formula; Online Archiviato il 3 marzo 2016 in Internet Archive.
(EN) Kiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51. Online
(EN) Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Also available online: PDF-files. This textbook also derives generalizations of Itō's lemma for non-Wiener (non-Gaussian) processes.
(EN) Bernt Øksendal (2000). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 5th edition, corrected 2nd printing. Springer. ISBN 3-540-63720-6. Sections 4.1 and 4.2.
(EN) Domingo Tavella (2002). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance, John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-27479-7. Pages 36–39.

Voci correlate

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