Lemma di normalizzazione di Noether

In matematica, il lemma di normalizzazione di Noether è un teorema dell'algebra commutativa che afferma che ogni $K$-algebra finitamente generata (dove $K$ è un campo) è un'estensione intera di un anello di polinomi su $K$.

Prende nome da Emmy Noether, che nel 1926 lo dimostrò sotto l'ipotesi che $K$ fosse infinito. Il caso in cui $K$ è un campo finito fu dimostrato da Oscar Zariski nel 1943.

Enunciato e dimostrazione

Sia $K$ un campo e $A$ un'algebra su $K$; sia $d$ la dimensione di $A$. Allora esistono $d$ elementi $y_{1},\ldots ,y_{d}\in A$, algebricamente indipendenti, tali che l'estensione $K[y_{1},\ldots ,y_{d}]\subseteq A$ è intera. Se inoltre $A$ è un dominio d'integrità, allora $d$ è anche il grado di trascendenza del campo dei quozienti di $A$ su $K$.

Se $A$ è un anello graduato, allora gli elementi $y_{1},\ldots ,y_{d}$ possono essere scelti omogenei.

L'idea della dimostrazione è di rappresentare $A$ come quoziente di un anello di polinomi $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ per un suo ideale $I$, e di procedere per induzione su $n$. Il passo induttivo è provato scegliendo un polinomio $P(X_{1},\ldots ,X_{n})\in I$, e cercando poi un cambiamento di variabili $Y_{i}=f_{i}(X_{i})$ che renda $P$ un polinomio monico in $X_{n}$, in modo che l'immagine $x_{n}$ di $X_{n}$ in $A$ sia intera sulle immagini degli $Y_{i}$.

Se $K$ è infinito, è sempre possibile trovare un $\lambda \in K$ tale che la trasformazione $Y_{i}=X_{i}-\lambda X_{n}$ (per $1\leq i\leq n-1$) abbia le proprietà cercate; se $K$ è finito, invece, è necessario considerare la trasformazione $Y_{i}=X_{i}+X_{i}^{m_{i}}$, per degli interi $m_{i}$ scelti opportunamente.

Conseguenze e interpretazione geometrica

L'utilità del lemma di Noether spesso si manifesta nella possibilità di "spezzare" lo studio delle proprietà di una $K$-algebra $A$ in un'estensione puramente trascendente $K\subseteq K[y_{1},\ldots ,y_{d}]$ e un'estensione intera $K[y_{1},\ldots ,y_{d}]\subseteq A$, entrambe le quali possono essere studiate più facilmente di un'estensione arbitraria. Ad esempio, attraverso questo metodo è possibile dimostrare che se $\phi :A\longrightarrow B$ è un omomorfismo di $K$-algebre finitamente generate e locali, allora $\phi$ è un omomorfismo locale, ovvero $\phi (M)B\neq B$, dove $M$ è l'ideale massimale di $A$.

Un'altra importante conseguenza del lemma di Noether è che ogni catena di ideali primi di $A$ può essere raffinata ad una catena massimale di lunghezza $d$ (dove $d$ è sempre la dimensione di $A$); in particolare, su $P$ è un ideale primo, allora $\dim A=\dim A_{P}+\dim A/P$. Ad esempio, se $f$ è un elemento di $A$ e non è un divisore dello zero, l'anello $A/(f)$ ha dimensione $\dim A-1$.

Il lemma di Noether può anche essere utilizzato per dimostrare il teorema degli zeri di Hilbert.

Geometricamente, il lemma di Noether può essere interpretato in termini di mappe tra varietà affini: in questo contesto afferma che, se $X$ è una varietà affine di dimensione $d$, allora esiste una mappa finita $\psi :X\longrightarrow \mathbb {A} ^{d}$ (dove $\mathbb {A} ^{d}$ è lo spazio affine $d$-dimensionale).

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94269-6.

Collegamenti esterni

• (EN) Lemma di normalizzazione di Noether, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.