Lemma di normalizzazione di Noether

teorema dell'algebra commutativa

In matematica, il lemma di normalizzazione di Noether è un teorema dell'algebra commutativa che afferma che ogni -algebra finitamente generata (dove è un campo) è un'estensione intera di un anello di polinomi su .

Prende nome da Emmy Noether, che nel 1926 lo dimostrò sotto l'ipotesi che fosse infinito. Il caso in cui è un campo finito fu dimostrato da Oscar Zariski nel 1943.

Enunciato e dimostrazioneModifica

Sia   un campo e   un'algebra su  ; sia   la dimensione di  . Allora esistono   elementi  , algebricamente indipendenti, tali che l'estensione   è intera. Se inoltre   è un dominio d'integrità, allora   è anche il grado di trascendenza del campo dei quozienti di   su  .

Se   è un anello graduato, allora gli elementi   possono essere scelti omogenei.

L'idea della dimostrazione è di rappresentare   come quoziente di un anello di polinomi   per un suo ideale  , e di procedere per induzione su  . Il passo induttivo è provato scegliendo un polinomio  , e cercando poi un cambiamento di variabili   che renda   un polinomio monico in  , in modo che l'immagine   di   in   sia intera sulle immagini degli  .

Se   è infinito, è sempre possibile trovare un   tale che la trasformazione   (per  ) abbia le proprietà cercate; se   è finito, invece, è necessario considerare la trasformazione  , per degli interi   scelti opportunamente.

Conseguenze e interpretazione geometricaModifica

L'utilità del lemma di Noether spesso si manifesta nella possibilità di "spezzare" lo studio delle proprietà di una  -algebra   in un'estensione puramente trascendente   e un'estensione intera  , entrambe le quali possono essere studiate più facilmente di un'estensione arbitraria. Ad esempio, attraverso questo metodo è possibile dimostrare che se   è un omomorfismo di  -algebre finitamente generate e locali, allora   è un omomorfismo locale, ovvero  , dove   è l'ideale massimale di  .

Un'altra importante conseguenza del lemma di Noether è che ogni catena di ideali primi di   può essere raffinata ad una catena massimale di lunghezza   (dove   è sempre la dimensione di  ); in particolare, su   è un ideale primo, allora  . Ad esempio, se   è un elemento di   e non è un divisore dello zero, l'anello   ha dimensione  .

Il lemma di Noether può anche essere utilizzato per dimostrare il teorema degli zeri di Hilbert.

Geometricamente, il lemma di Noether può essere interpretato in termini di mappe tra varietà affini: in questo contesto afferma che, se   è una varietà affine di dimensione  , allora esiste una mappa finita   (dove   è lo spazio affine  -dimensionale).

BibliografiaModifica

Collegamenti esterniModifica

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