La derivata della somma (algebrica ) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate.
D
[
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
+
⋯
+
f
n
(
x
)
]
=
f
1
′
(
x
)
+
f
2
′
(
x
)
+
⋯
+
f
n
′
(
x
)
{\displaystyle D[f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)]=f'_{1}(x)+f'_{2}(x)+\cdots +f'_{n}(x)}
D [f (x )] e f '(x ) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.
Si dimostra inizialmente il caso di una somma con solo due addendi.
Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale :
F
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
F
(
x
+
h
)
−
F
(
x
)
h
(
1
)
{\displaystyle F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\qquad \qquad (1)}
si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f (x ) e g (x ) derivabili in x , che:
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
+
g
(
x
+
h
)
]
−
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
h
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}}}
Riordinando emerge subito che:
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
+
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)}
Siccome per la (1):
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)}
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)}
e quindi
D
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
{\displaystyle D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;}
Il caso generale di n addendi si ottiene ora per induzione dal caso particolare appena dimostrato. cvd .
Più in generale, si può dire che la derivata è un operatore lineare : la derivata di una funzione derivabile moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione originaria:
D
[
λ
⋅
f
(
x
)
]
=
λ
⋅
f
′
(
x
)
{\displaystyle D[\lambda \cdot f(x)]=\lambda \cdot f'(x)}
Dunque un enunciato equivalente ai due precedenti è che la derivata "conserva" le combinazioni lineari :
D
[
λ
1
f
1
(
x
)
+
λ
2
f
2
(
x
)
+
⋯
+
λ
n
f
n
(
x
)
]
=
λ
1
f
1
′
(
x
)
+
λ
2
f
2
′
(
x
)
+
⋯
+
λ
n
f
n
′
(
x
)
{\displaystyle D[\lambda _{1}f_{1}(x)+\lambda _{2}f_{2}(x)+\cdots +\lambda _{n}f_{n}(x)]=\lambda _{1}f'_{1}(x)+\lambda _{2}f'_{2}(x)+\cdots +\lambda _{n}f'_{n}(x)}
per ogni
λ
1
,
.
.
.
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}
reali . Infatti ponendo
λ
1
=
.
.
.
=
λ
n
=
1
{\displaystyle \lambda _{1}=...=\lambda _{n}=1}
λ
2
=
.
.
.
=
λ
n
=
0
{\displaystyle \lambda _{2}=...=\lambda _{n}=0}
Con il rapporto incrementale:
(
λ
f
)
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
(
λ
f
)
(
x
+
h
)
−
(
λ
f
)
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
λ
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
)
h
=
λ
f
′
(
x
)
{\displaystyle (\lambda f)'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(\lambda f)(x+h)-(\lambda f)(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\lambda (f(x+h)-f(x))}{h}}=\lambda f'(x)}
Con la regola del prodotto :
(
λ
f
)
′
(
x
)
=
(
λ
)
′
f
(
x
)
+
λ
f
′
(
x
)
=
0
+
λ
f
′
(
x
)
=
λ
f
′
(
x
)
{\displaystyle (\lambda f)'(x)=(\lambda )'f(x)+\lambda f'(x)=0+\lambda f'(x)=\lambda f'(x)\;}
![{\displaystyle D[f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)]=f'_{1}(x)+f'_{2}(x)+\cdots +f'_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d412a88aa1be4b0afb837d99da49b921311390ed)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0712cf5d7a9454e530a06fdd8bec30c17be32390)
![{\displaystyle D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22e37594993683b387f9f52379d08c2056ed646)
![{\displaystyle D[\lambda \cdot f(x)]=\lambda \cdot f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd0312ff181bbe274016221d48f8ec37539ad7c)
![{\displaystyle D[\lambda _{1}f_{1}(x)+\lambda _{2}f_{2}(x)+\cdots +\lambda _{n}f_{n}(x)]=\lambda _{1}f'_{1}(x)+\lambda _{2}f'_{2}(x)+\cdots +\lambda _{n}f'_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f27b870656b42a1d25a08dd57bd74ef268586ce)
