Operatore momento angolare

operatore quantistico analogo al momento angolare in meccanica classica

L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.

DefinizioneModifica

Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:

 

dove   è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:

 

In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:

 
 
 

ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:

 

scritto nella base delle coordinate.

Le rotazioniModifica

In meccanica classica una rotazione di un angolo  , intorno ad un asse (per esempio z) è descritta da una matrice ortogonale:

 

analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:

 

La matrice   è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè

 .

Le rotazioni infinitesimeModifica

Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo   su ognuno dei tre assi:

 
 
 

per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni x,y:

 

e

 

Vediamo il commutatore di queste due quantità:

 

Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.

Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazioModifica

Se   è l'operatore di rotazione intorno all'asse z e lo applichiamo ad una funzione d'onda   otteniamo:

 

Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse z:

 

in definitiva:

 

Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse   del momento angolare, per cui l'operatore   è il generatore della rotazione intorno all'asse  . Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di   rotazioni infinitesime:  , allora:

 

dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite   di questa espressione:

 

A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse j, vi è una quantità conservata pari a

 

Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è

 

e si ha che

 

perciò:

 

Le proprietà del momento angolareModifica

In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione

 

deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè  :

 

inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:

 

Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:

 

Proprietà di commutazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:

 

dove i commutatori fra le componenti di   e   risultano tutti nulli, eccetto nel caso   con  .

Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:

 
 
 

Si può costruire l'operatore  , cioè l'operatore:

 

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:

 

e analogamente:

 
 

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore  .

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.

 
 
 

Allo stesso modo   e  , in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

 

dove   e   è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se due indici sono uguali.

Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:

 

Spettro del momento angolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità  . Le equazioni agli autovalori sono:

 
 

dal momento che   commuta con  , essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati   e   coincidono, e vengono indicati con  .

Bisogna trovare quali sono gli autovalori  ,  , a volte indicati con  ,  , oppure con ) simultanei di questi operatori:

 

Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala:

 

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

 
 
 

L'operatore   può essere espresso in termini di   e operatori di scala:

 

Per vedere quale sia il significato di  , vediamo come   agisce sullo stato  :

 

cioè applicando  , l'autovalore di   aumenta di  , viceversa applicando  , l'autovalore di   viene diminuito di  , da cui il nome di operatori di scala. Invece:

 

cioè l'applicazione degli operatori   cambiano gli autovalori di  , ma non di  .

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega   ed   è:

 

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

 

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di  : fisicamente ciò significa che b assume il suo valore massimo quando   coincide con la direzione dell'asse z, così la sua proiezione   coincide con  , in tal caso  . Quindi l'autovalore di   è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere  .

Siano   il valore minimo e   il valore massimo che può assumere  . Applicando successivamente gli operatori di scala  , si capisce che deve essere:

 
 

Ora applichiamo

 

cioè:

 

Quindi l'autovalore di   è  , dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

 

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti   uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di  ), dove se k è un intero, fissato a, vi sono (2k+1) valori di b, cioè   per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b. Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di   e  :

 
 

dove   è il numero quantico orbitale ed   è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzioni del momento angolare e Armoniche sferiche.

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo  . La sua rappresentazione spaziale è:

 

Mentre quella lungo   è:

 

Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale   e della sua componente lungo   sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:

 
 

le armoniche sferiche sono pertanto

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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