Operatore momento angolare

operatore quantistico analogo al momento angolare in meccanica classica

L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.

DefinizioneModifica

Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:

 

dove   è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:

 

In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:

 
 
 

ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:

 

scritto nella base delle coordinate.

Le rotazioniModifica

In meccanica classica una rotazione di un angolo  , intorno ad un asse (per esempio  ) è descritta da una matrice ortogonale:

 

analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:

 

La matrice   è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè

 .

Le rotazioni infinitesimeModifica

Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo   su ognuno dei tre assi:

 
 
 

per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni  :

 

e

 

Vediamo il commutatore di queste due quantità:

 

Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.

Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazioModifica

Se   è l'operatore di rotazione intorno all'asse   e lo applichiamo ad una funzione d'onda   otteniamo:

 

Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse  :

 

in definitiva:

 

Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse   del momento angolare, per cui l'operatore   è il generatore della rotazione intorno all'asse  . Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di   rotazioni infinitesime:  , allora:

 

dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite   di questa espressione:

 

A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse  , vi è una quantità conservata pari a

 .

Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è

 

e si ha che

 

perciò:

 

Le proprietà del momento angolareModifica

In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione

 

deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè  :

 

inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:

 

Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:

 

Proprietà di commutazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:

 

dove i commutatori fra le componenti di   e   risultano tutti nulli, eccetto nel caso   con  .

Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:

 
 
 

Si può costruire l'operatore  , cioè l'operatore:

 

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:

 

e analogamente:

 
 

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore  .

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.

 
 
 

Allo stesso modo   e  , in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

 

dove   e   è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a   per permutazioni pari degli indici,   per permutazioni dispari e   se due indici sono uguali.

Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:

 

Spettro del momento angolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità  . Le equazioni agli autovalori sono:

 
 

dal momento che   commuta con  , essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati   e   coincidono, e vengono indicati con  .

Bisogna trovare quali sono gli autovalori  ,  , a volte indicati con  ,  , oppure con ) simultanei di questi operatori:

 

Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala o operatori scaletta:

 

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

 
 
 

L'operatore   può essere espresso in termini di   e operatori di scala:

 

Per vedere quale sia il significato di  , vediamo come   agisce sullo stato  :

 

cioè applicando  , l'autovalore di   aumenta di  , viceversa applicando  , l'autovalore di   viene diminuito di  , da cui il nome di operatori di scala. Invece:

 

cioè l'applicazione degli operatori   cambiano gli autovalori di  , ma non di  .

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega   ed   è:

 

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

 

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di  : fisicamente ciò significa che   assume il suo valore massimo quando   coincide con la direzione dell'asse  , così la sua proiezione   coincide con  , in tal caso  . Quindi l'autovalore di   è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere  .

Siano   il valore minimo e   il valore massimo che può assumere  . Applicando successivamente gli operatori di scala  , si capisce che deve essere:

 
 

Ora applichiamo

 

cioè:

 

Quindi l'autovalore di   è  , dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

 

e anche qui   deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di   sono distanti   uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di  ), dove se   è un intero, fissato  , vi sono   valori di  , cioè   per cui se   è intero lo è anche   e se   è semintero, lo è anche  . Si può dimostrare che gli autovalori   sono interi e quindi anche   sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di   e  :

 
 

dove   è il numero quantico orbitale ed   è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzioni del momento angolare e Armoniche sferiche.

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo  . La sua rappresentazione spaziale è:

 

Mentre quella lungo   è:

 

Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale   e della sua componente lungo   sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:

 
 

le armoniche sferiche sono pertanto

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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