Polinomio trigonometrico

In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$ per alcuni valori di $n$ interi positivi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.

I polinomi trigonometrici sono usati, per esempio, nell'interpolazione trigonometrica usata per interpolare funzioni periodiche e nella trasformata di Fourier discreta.

Il termine polinomio trigonometrico deriva dall'analogia dell'uso delle funzioni $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$ a una base di monomi per i polinomi.

Definizione formale

Una funzione $T$ della forma

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+i\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),$

con $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ per $n=0,\ldots ,N$ e almeno uno tra $a_{N}$ e $b_{N}$ diverso da zero, è detta polinomio trigonometrico complesso di grado $N$. Usando la formula di Eulero il polinomio può essere riscritto come

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).$

Analogamente, se $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$ per $n=0,\ldots ,N$ e almeno uno tra $a_{N}$ e $b_{N}$ diverso da zero, la funzione

$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),$

è detta polinomio trigonometrico reale di grado $N$.

Proprietà

• Un polinomio trigonometrico di grado $N$ può essere considerato come una funzione periodica sulla retta reale con periodo un divisore di $2\pi$ o come una funzione (non periodica) sul cerchio unitario.

• Un polinomio trigonometrico non identicamente nullo di grado $N$ ha al massimo $2N$ radici in ogni intervallo $[a,a+2\pi )$ per ogni $a$ reale.

• L'insieme dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue sul cerchio unitario con la norma uniforme. Questo è un caso speciale del teorema di Stone-Weierstrass. Più precisamente: per ogni funzione continua $f$ e per ogni $\varepsilon >0$ esiste un polinomio trigonometrico $T$ tale che $|f(x)-T(x)|<\varepsilon$ per ogni $x$.

• Il teorema di Fejér afferma che la media aritmetica delle somme parziali della serie di Fourier di una funzione $f$ converge uniformemente a $f$.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and complex analysis, New York, McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1.

Voci correlate

• Funzioni trigonometriche
• Serie di Fourier
• Trasformata discreta di Fourier