Principio dell'argomento

In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.

EnunciatoModifica

Sia  , e sia   una catena omologa a zero in  . Sia   una funzione meromorfa su  , con un numero finito di zeri e poli,  , non appartenenti al supporto della curva  . Allora

 
dove   è l'ordine della funzione   in  , definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione   centrata in  , per ogni  .

DimostrazioneModifica

Sia  . Allora la funzione   è olomorfa in  . Se si proverà che  , dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.

Consideriamo la serie di Laurent della funzione   centrata in  , la quale, per semplicità, la scriviamo come  , dove   denota l'ordine della funzione   nel punto  , ed   è una funzione olomorfa in   tale che  , per ogni  . Quindi vale che

 
dove la funzione   è olomorfa in  , per ogni  . Di conseguenza,  , per ogni  .

CorollarioModifica

Sia  , e sia   una funzione meromorfa su  . Sia   una curva chiusa semplice in   tale che l'interno di   sia contenuto in  , ed il supporto di   non contenga zeri o poli della funzione  . Allora

 
dove   ed   indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva  .
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