Principio dell'argomento

In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.

Enunciato

Sia $\Omega \subset \mathbb {C}$ , e sia $\gamma$ una catena omologa a zero in $\Omega$ . Sia $f$ una funzione meromorfa su $\Omega$ , con un numero finito di zeri e poli, $z_{1},\dots ,z_{n}\in \Omega$ , non appartenenti al supporto della curva $\gamma$ . Allora

\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}{\text{Ind}}_{\gamma }(z_{i}){\text{ord}}_{z_{i}}(f),

dove

{\text{ord}}_{z_{i}}(f)=m_{i}\in \mathbb {Z}

è l'ordine della funzione

f

in

z_{i}

, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione

f

centrata in

z_{i}

, per ogni

i=1,\dots ,n

.

Dimostrazione

Sia $\Omega ':=\Omega \backslash \{z_{1},\dots ,z_{n}\}$ . Allora la funzione ${\frac {f'}{f}}$ è olomorfa in $\Omega '$ . Se si proverà che ${\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)={\text{ord}}_{z_{i}}(f)$ , dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.

Consideriamo la serie di Laurent della funzione $f$ centrata in $z_{i}$ , la quale, per semplicità, la scriviamo come $f(z)=(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)$ , dove $m_{i}$ denota l'ordine della funzione $f$ nel punto $z_{i}$ , ed $h$ è una funzione olomorfa in $z_{i}$ tale che $h(z_{i})\neq 0$ , per ogni $i=1,\dots ,n$ . Quindi vale che

{\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {m_{i}(z-z_{i})^{m_{i}-1}h(z)+(z-z_{i})^{m_{i}}h'(z)}{(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)}}={\frac {m_{i}}{z-z_{i}}}+{\frac {h'(z)}{h(z)}},

dove la funzione

{\frac {h'}{h}}

è olomorfa in

z_{i}

, per ogni

i=1,\dots ,n

. Di conseguenza,

{\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)=m_{i}={\text{ord}}_{z_{i}}(f)

, per ogni

i=1,\dots ,n

.

Corollario

Sia $\Omega \subset \mathbb {C}$ , e sia $f$ una funzione meromorfa su $\Omega$ . Sia $\gamma$ una curva chiusa semplice in $\Omega$ tale che l'interno di $\gamma$ sia contenuto in $\Omega$ , ed il supporto di $\gamma$ non contenga zeri o poli della funzione $f$ . Allora