Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano ; la legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi .[1]

DefinizioneModifica

Dati due gruppi   ed un omomorfismo  , chiamiamo prodotto semidiretto di   e   secondo   il prodotto cartesiano   dotato della seguente operazione:

 

dove indichiamo con   l'automorfismo   appartenente all'insieme  .

Il prodotto semidiretto di   e   secondo   può essere indicato come

 .

Prodotto diretto e semidirettoModifica

Il prodotto diretto   è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra   e   l'omomorfismo:

 

dove   è l'automorfismo identità in  . Infatti l'operazione su   sarà a questo punto:

 

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidirettoModifica

Sia   un gruppo e siano   due suoi sottogruppi.

Se:

  •   (  è normale in  )
  •  
  •  

allora  , dove   (ovvero ogni elemento viene mappato da   nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra   e   sarà quello che manda il generico elemento   in  .

Esempi di gruppi semidirettiModifica

  • Dato un gruppo avente ordine  , con   numeri primi distinti,  , esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow[2], sarà decomponibile come:
     
    In particolare, se   non divide   (  è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra   e   è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
     
  • Ogni gruppo diedrale   è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
     
    dove   è l'identità su   e   è l'applicazione che manda ogni elemento   di   nel suo opposto  . [3] In particolare un isomorfismo   è quello tale che:
    •  
    •  
    e quindi[4]  dove   sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo ed una simmetria fissata.
  • Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
  • Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
     
    ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi,  , con se stesso.

ProprietàModifica

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che   è non abeliano per ogni  ), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto diretto coincide con il prodotto semidiretto.

NoteModifica

  1. ^ Dato un gruppo  , si indica con   il gruppo degli automorfismi di   (isomorfismi di   in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
  2. ^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine   esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
  3. ^ Visto nel gruppo diedrale,  
  4. ^ Essendo   generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.

Voci correlateModifica

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