Radice quadrata di una matrice

In matematica, per radice quadrata di una matrice quadrata si intende ogni matrice quadrata tale che il suo quadrato sia . In generale, una matrice non possiede un'unica radice quadrata.

Procedimento numericoModifica

Un procedimento per ottenere da una matrice   una sua radice quadrata è quello chiamato iterazione per la radice quadrata di Denman-Beavers. Sia data la matrice quadrata   di dimensione  , e si voglia ottenere  . Il procedimento iterativo si serve di una sequenza di coppie di matrici  . Si definiscono:

 

dove   denota la matrice identità  . Si procede per un opportuno numero di iterazioni definite da:

 

Si trova che:

 

In alcuni casi un procedimento più efficiente per ottenere   è il seguente: si costruisce la matrice   le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice data  . Si trova quindi la matrice   inversa di  , e si calcola:

 

Questa è una matrice diagonale i cui elementi diagonali sono gli autovalori della  . Si rimpiazza ogni elemento diagonale della   con la sua radice quadrata in modo da ottenere la matrice  , e si ottiene la matrice richiesta come:

 

Con una odierna calcolatrice grafica questo procedimento risulta in genere più efficiente del precedente. Questo approccio è effettuabile solo per matrici diagonalizzabili. Per matrici non diagonalizzabili si può procedere con una decomposizione di Jordan combinata con uno sviluppo in serie simile a quello descritto per il logaritmo di una matrice.

Soluzione esplicita per matrici 2×2Modifica

Per il teorema di Hamilton-Cayley una generica matrice   2×2 soddisfa il polinomio caratteristico:

 

cioè:

 

Indicando per brevità   con   e   con   si ha:

 

Muovendo il termine intermedio al secondo membro e completando il quadrato si ottiene:

 

ovvero:

 

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene (compare un radicale doppio):

 

da cui si ricava:

 

Si noti che il segno   che compare prima della frazione è indipendente dagli altri due, che invece sono dipendenti tra loro. Il numero totale delle radici quadrate di una matrice quadrata   è quindi  , e di queste quella con tutti e tre i segni positivi è la radice principale. In altre parole:

 
 
 
 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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