Retrazione

una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico su un sottoinsieme

In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico su un sottoinsieme .

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme è un retratto per deformazione di e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

DefinizioneModifica

RetrazioneModifica

Sia   uno spazio topologico e   un sottoinsieme di  . Una funzione continua

 

è un retrazione di   su   se la sua restrizione ai punti di   è la funzione identità, ovvero se

 

Un sottoinsieme   è un retratto di   se esiste una retrazione di   su  .

Retratto per deformazioneModifica

Una funzione continua

 

è una retrazione per deformazione di   su   se sono soddisfatte le relazioni seguenti

 

per ogni   in   e ogni   in  . In altre parole, una retrazione per deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su  .

Un sottoinsieme   è un retratto per deformazione di   se esiste una retrazione di deformazione di   su  .

Infine, una retrazione per deformazione   si dice forte se

 

per ogni   in  . In altre parole, la deformazione non muove i punti in  . In questo caso   è un retratto per deformazione forte.

EsempiModifica

RetrazioniModifica

Sia   uno spazio qualsiasi e   un punto. La funzione costante

 

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di   e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

DeformazioniModifica

Sia   un sottoinsieme convesso di   contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto  . La funzione

 
 

è una retrazione per deformazione di   sull'origine  .

ProprietàModifica

RetrazioniModifica

Una retrazione

 

manda ogni componente connessa   di   in un sottoinsieme connesso di  .

Se   è connesso per archi, anche   lo è e l'omomorfismo indotto

 

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

 

induce una funzione iniettiva

 

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

 

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

 

Poiché questo è composizione degli omomorfismi   e  , il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

DeformazioniModifica

Se la retrazione   è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra   e  . In particolare, le mappe   e   sono entrambe isomorfismi.

ApplicazioniModifica

Teorema del punto fisso di BrowerModifica

Non esistono retrazioni

 

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

 

sull' -esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

 

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

 

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

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