Simbolo di Christoffel

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In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori. Si devono a Elwin Bruno Christoffel.

Definizione

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Sia   una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante  . Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di   ed un aperto   di  . Nell'aperto   sono definiti i campi di vettori coordinati costanti   e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di  , la derivata covariante del campo   nella  -esima direzione è una combinazione lineare

 

con alcuni coefficienti  . Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni   è una funzione liscia:

 

dipendente da tre parametri  . I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante   nella carta.

Notazione

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In alcuni testi è possibile che i simboli di Christoffel siano presentati con una notazione diversa. Una prima possibilità è la seguente[1]:

 

Mentre nel testo originale di Einstein si trova la notazione[2]

 

Proprietà

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Oggetto non tensoriale

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Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori. Con questa espressione, un po' impropria, si intende dire la seguente cosa: si prendano due carte   e   definite su un aperto comune  , esse inducono su   delle coordinate differenti   che generano rispettivamente dei simboli di Christoffel   e  . A questo punto si possono ben definire localmente due tensori:

 .

Se ora le   fossero le componenti (nella carta in cui sono calcolate) di un unico campo tensoriale esso dovrebbe coincidere necessariamente sia con   che con  , quindi la relazione tra i   e i   dovrebbe essere quella che lega le componenti di un tensore   in due carte diverse. Ma noi abbiamo già una formula per calcolare sia i   che i   e quindi o trasformano nel modo corretto o non lo fanno. Il computo mostra che non lo fanno, essi sono collegati dalla relazione:

 

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano come le coordinate di un tensore  .

Torsione

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Torsione (geometria differenziale).

I simboli di Christoffel non sono tensori. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se   è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo   ottenuto scambiando le variabili   e   è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

 

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-Civita

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Connessione di Levi-Civita.

Fissato un tensore metrico   su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

 

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla). Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la convenzione :

 

per le derivate parziali.

Applicazioni

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Derivata covariante di un campo tensoriale

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La derivata covariante di un campo vettoriale   può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

 

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

 

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

 
  1. ^ Einstein, si veda la nota a pagina 58.
  2. ^ Landau, si veda la nota a pagina 314.

Bibliografia

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  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
  • Albert Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 2015, ISBN 978-88-339-2713-8.
  • Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšits, Fisica Teorica II, Teoria dei Campi, Editori Riuniti university press, 2010, ISBN 978-88-6473-207-7.

Voci correlate

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