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Bernhard Riemann introdusse le nozioni di varietà e di curvatura di varietà nel 1854, in "Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria", pubblicata postuma nel 1867.

In matematica, la nozione di varietà riemanniana è centrale in geometria differenziale, ed è utile a modellizzare spazi "curvi" di dimensione arbitraria.

Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume), curvatura. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann.

Indice

DefinizioneModifica

La definizione di varietà riemanniana è la seguente.

Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile   dotata di un tensore metrico   definito positivo.

Il tensore metrico   definisce quindi un prodotto scalare definito positivo sullo spazio tangente di ogni punto di  .

La varietà riemanniana è spesso indicata come coppia  .

Nozioni geometriche basilariModifica

Grazie al solo tensore metrico  , è possibile definire su una varietà riemanniana   numerose nozioni presenti nell'usuale spazio euclideo. Tutte queste nozioni dipendono fortemente dalla scelta di  .

Angoli e moduli di vettoriModifica

Sia   un punto di   e   il suo spazio tangente. Il tensore   definisce un prodotto scalare definito positivo su  , e quindi una nozione di lunghezza e angolo fra vettori tangenti in  .

In particolare, se   e   sono due curve differenziabili

 

con  , i loro vettori tangenti   e   sono elementi di   e quindi è definito il loro modulo   come

 

e l'angolo   compreso tra questi (se sono entrambi non nulli), tramite la relazione

 

Lunghezza di una curvaModifica

 
La lunghezza di una curva   è definita integrando le lunghezze dei vettori tangenti alla curva ad ogni tempo  .

La lunghezza   di una curva differenziabile

 

è quindi definita tramite l'integrale

 

DistanzaModifica

La distanza   fra due punti   e   di   è definita come

 

al variare di tutte le curve differenziabili   che partono in   e arrivano in  . La distanza   definisce su   una struttura di spazio metrico.

GeodeticaModifica

Una geodetica è l'analogo della linea retta nell'usuale spazio (o piano) euclideo. Si tratta di una curva differenziabile   che minimizza localmente la lunghezza. Più precisamente, ogni   interno al dominio   ha un intorno   tale che la distanza fra   e   è uguale alla lunghezza del sotto-arco di   che collega i due punti, per ogni   in  .

VolumeModifica

Una varietà orientata   è dotata di una forma di volume  . Su ogni spazio tangente  , si tratta dell'unico tensore antisimmetrico di tipo   che vale

 

su ogni base ortonormale positiva   di  . In una carta, si scrive come

 

dove   è il determinante di  , che è positivo perché   è definito positivo, e la base   è una base positiva rispetto all'orientazione. Si tratta di una  -forma differenziale, che se integrata su un dominio   definisce il volume di  :

 

Una orientazione è necessaria per definire la forma volume: una tale forma esiste infatti soltanto su varietà orientabili.

Proprietà metricheModifica

CompletezzaModifica

Una varietà riemanniana è in particolare uno spazio metrico, e in quanto tale può essere completa o meno. Esistono vari criteri equivalenti di completezza, forniti dal teorema di Hopf-Rinow.

Una varietà compatta è sempre completa. Una varietà differenziabile non compatta può essere completa o meno: la completezza è in questo caso fortemente dipendente dal tensore di curvatura.

CurvaturaModifica

La curvatura misura la tendenza della geometria locale su una varietà riemanniana a discostarsi dalla usuale geometria euclidea. La curvatura è una misura locale, che può essere realizzata in vari modi.

La curvatura di una superficie   è misurata dalla curvatura gaussiana, un numero reale associato ad ogni punto di  . Per una varietà di dimensione maggiore, la codifica e lo studio della curvatura sono più complessi. L'oggetto che descrive completamente la curvatura di una varietà è il tensore di Riemann, un tensore di ordine  .

Il tensore di Riemann è un oggetto algebrico molto complesso, e quindi spesso si ricorre a nozioni di curvatura più semplici da manipolare. La curvatura sezionale misura la curvatura su ogni piano passante per un punto: questa nozione più geometrica di curvatura è molto ricca, contiene le stesse informazioni del tensore di Riemann ed è spesso di più facile applicazione. Il tensore di Ricci e la curvatura scalare sono due versioni "semplificate" del tensore di Riemann, ottenute contraendo alcuni indici del tensore. Il tensore di Ricci è un tensore di tipo  , e la curvatura scalare un numero, simile alla curvatura gaussiana.

Tutte queste nozioni misurano la curvatura intrinseca della varietà, determinata unicamente dalla sua struttura di varietà riemanniana. Nozioni di curvatura estrinseca sono applicabili soltanto quando la varietà è contenuta in un'altra varietà più grande: ad esempio, nel caso di una superficie contenuta nello spazio   esistono anche le nozioni di curvatura principale e curvatura media, che a differenza della curvatura gaussiana non sono definite su una superficie astratta.

BibliografiaModifica

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85114045 · GND (DE4128295-4 · BNF (FRcb11959398f (data)