Temperamento equabile

Il temperamento equabile o semplicemente il sistema temperato, fornisce uno standard di uguaglianza tra gli intervalli dell'ottava, per risolvere alcuni problemi, tipo quelli relativi alla scala pitagorica e a quella naturale, soprattutto riguardo il cambiamento della tonalità. Con questo sistema, nella musica occidentale, l'ottava viene suddivisa in 12 gradini (semitoni) con pari intervallo e questo dà la possibilità di poter cambiare/trasportare la tonalità dei brani, in uno spartito o per uno strumento o voce, senza problemi di intonazioni.

Il temperamento così costituito può essere denominato 12-TET (dall'inglese 12-Tone Equal Temperament, ovvero Twelve-Tone Equal Temperament) ed identificato come "temperamento equabile" per antonomasia, dalla maggior parte dei musicisti occidentali.

Storia

Già descritto da Aristosseno di Taranto intorno al 320 a.C., questo sistema fu caldeggiato da numerosi intellettuali, tra cui spiccano il matematico fiammingo Simone Stevino verso la fine del XVI secolo e il musicista Vincenzo Galilei, padre di Galileo Galilei, nel 1581. Tuttavia la sua adozione fu graduale sia a causa della difficoltà di realizzare con precisione questo temperamento nell'accordatura degli strumenti, per mancanza di intervalli giusti di riferimento, sia perché l'estetica musicale pre-romantica richiedeva nella scala la presenza di alcuni intervalli giusti di cui veniva fatto uso per via del loro carattere "puro", intervalli incompatibili con la suddivisione dell'ottava in parti uguali.

Solo nella seconda metà del XIX secolo, con il graduale rilassamento della necessità di intervalli giusti a favore della flessibilità nel cambiamento di tonalità (modulazione), il temperamento equabile si affermò gradualmente in tutta Europa, sostituendo i temperamenti inequabili (o buoni temperamenti), in cui l'ottava non è divisa in parti uguali, quali quelli descritti dal tedesco Andreas Werckmeister nel 1691, Johann Georg Neidhart, Francesco Antonio Vallotti e da altri autori. Tuttavia, solo nel 1917 William Braid White sviluppa un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso.

Costruzione della scala equabile 12-TET

Intervallo	Rapporto
Unisono	1
Seconda maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}$
Terza maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}$
Quarta giusta	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}$
Quinta giusta	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}$
Sesta maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}$
Settima maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}$
Ottava	2

Il temperamento equabile, nella variante 12-TET, può essere riguardato come "aggiustamento" dei gradi della scala naturale in modo da dare uniformità ai vari tipi d'intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico. Proprio per questo, tra i temperamenti equabili, esso è quello di maggiore diffusione in Occidente.

L'idea di base è semplice: suddividere l'ottava in 12 intervalli "elementari" (semitoni temperati) in progressione geometrica tutti esattamente della stessa ampiezza. L'ampiezza di un intervallo corrisponde al rapporto fra le frequenze fondamentali delle due note (e non alla differenza delle frequenze come sarebbe stato per una progressione aritmetica). Poiché l'intervallo di ottava è espresso dalla frazione 2/1, in quanto la frequenza raddoppia a ogni ottava, il rapporto di frequenze che identifica il semitono temperato è il numero irrazionale ${\sqrt[{12}]{2}}$. In questo modo dodici semitoni coprono esattamente l'intervallo di un'ottava.

Poiché ${\sqrt[{12}]{2}}\simeq 1,06\simeq 18/17$, il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale. Il tono invece vale ${\sqrt[{12}]{2}}\times {\sqrt[{12}]{2}}\simeq 1,1224$, quindi è molto più vicino al tono maggiore naturale ($9/8=1,125$) che al tono minore ($10/9\simeq 1,111$). Come conseguenza la terza maggiore temperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale che è formata da un tono maggiore e un tono minore.

Temperamento equabile e scala logaritmica

Benché il temperamento equabile sia stato teorizzato prima dell'introduzione in matematica del concetto di logaritmo, l'operazione di suddivisione equabile dell'ottava risulta semplificata se, invece di associare a ciascun intervallo musicale il rapporto fra le frequenze fondamentali delle note che lo compongono, si associa all'intervallo il logaritmo di questo rapporto. Infatti in questo modo la giustapposizione di due intervalli consecutivi (ad esempio due toni che formano una terza maggiore). anziché essere rappresentata dal prodotto dei rapporti di frequenze corrispondenti, è rappresentata dalla somma dei rispettivi logaritmi. Quindi la suddivisione dell'ottava in semitoni uguali comporta la semplice divisione per 12 del corrispondente valore logaritmico, anziché l'estrazione di una radice dodicesima.

Già nei primi anni del XVIII secolo Gottfried Leibniz aveva ben presente la possibile applicazione di logaritmi alla scala musicale. Tuttavia solo nel 1885 fu proposta da Alexander Ellis la misura logaritmica degli intervalli musicali oggi correntemente adottata: se le frequenze fondamentali di due note sono rispettivamente $f_{1}$ e $f_{2}$, al loro intervallo viene associato il valore in cent dato da $1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)$. Il valore in cent dell'ottava è quindi 1200 e il semitono equabile vale esattamente un dodicesimo dell'ottava, ossia 100 cent (il nome cent deriva appunto dal fatto che 1 cent rappresenta un centesimo di semitono equabile). La notazione in cent può essere applicata a qualunque scala musicale, ma usa comunque come riferimento la scala temperata equabile, mentre l'uso dei rapporti fra frequenze agevola il confronto con gli intervalli della scala naturale.

Vantaggi e svantaggi

Grado della scala	Scala temperata	Interv.	Nome interv.
I	0	—	—
II	200	200	Tono
III	400	200	Tono
IV	500	100	Semitono
V	700	200	Tono
VI	900	200	Tono
VII	1100	200	Tono
VIII	1200	100	Semitono

La scala maggiore temperata
(intervalli espressi in cent)

Il temperamento equabile è un espediente teorico che, eliminando la distinzione tra tono maggiore/minore e semitono diatonico/cromatico, fa coincidere il suono di diesis e bemolli (ad esempio: Sol♯ = La♭), dividendo il tono in due semitoni uguali. In questo modo, anche su strumenti a intonazione fissa, il grado di consonanza degli accordi rimane lo stesso in tutte le tonalità, diversamente da quanto accadeva con i temperamenti inequabili, benché alcuni dei quali permettevano di suonare in tutte le tonalità, come esemplificato dal Clavicembalo ben temperato di Bach, ma con effetti volutamente diversi a seconda della tonalità. Il maggiore svantaggio è l'alterazione di tutti gli intervalli "giusti", particolarmente rilevante e avvertibile negli intervalli di terza. Questo compromesso è spesso necessario nella prassi musicale occidentale contemporanea ed è quindi tollerato, se pure distintamente avvertibile. Nel 1709 il filosofo e matematico Leibniz sottolineava che solo ascoltatori allenati riescono a cogliere i compromessi di intonazione della scala equabile:

(FR) «Ayant consideré un jour et examiné par les Logarithmes l'ancienne division de l'octave en 12 parties egales qu'Aristoxene suivoit deja; et ayant remarqué combien ces intervalles egalement pris approchent des plus utiles de ceux de l'echelle ordinaire; j'ay cru que pour l'ordinaire on pourroit s'y tenir dans la practique; et quoyque les Musiciens et les oreilles delicates y trouveront quelque defaut sensible, presque tous les auditeurs n'en trouveront point, et en seront charmés.»

(IT) «Avendo un giorno considerato ed esaminato per mezzo dei Logaritmi l'antica suddivisione dell'ottava in 12 parti uguali, che Aristosseno già seguiva, e avendo osservato quanto tali intervalli equalizzati si avvicinano di più a un impiego utile, di quelli della scala ordinaria, mi sono convinto che per lo più vi si potrebbe attenere nella pratica; e benché i musicisti e le orecchie più sensibili vi troveranno qualche imperfezione percepibile, pressoché tutti gli ascoltatori non ne avvertiranno alcuna, e ne saranno estasiati»

(Gottfried Wilhelm von Leibniz)

Nota	Frequenza con il temperamento equabile
Do	261,6 Hz
Re	293,7 Hz
Mi	329,6 Hz
Fa	349,2 Hz
Sol	392,0 Hz
La	440,0 Hz
Si	493,9 Hz

Le frequenze di un'ottava approssimate a 0,1 Hz.

In realtà, nella prassi musicale contemporanea il temperamento equabile ha affiancato i temperamenti inequabili più che soppiantarli. A causa della loro complessità di accordatura e vista la necessità di eseguire frequentemente musica contemporanea, alcuni strumenti a intonazione fissa, come ad esempio il pianoforte e l'arpa moderna, lo adottano quasi sempre, pur con la conseguente perdita di espressività nella riproduzione della musica precedente il Novecento. Altri strumenti ad intonazione fissa, ad esempio organo, arpe antiche e clavicembalo, più legati a tradizioni musicali precedenti, adottano ancora oggi i temperamenti inequabili, in quanto solo così è possibile evidenziare contrasti che altrimenti andrebbero perduti. Gli strumenti ad arco ed alcuni legni possono variare l'altezza delle note per ottenere gli intervalli naturali, come si fa sistematicamente nella polifonia vocale. Alcuni strumenti, come la tromba naturale e il corno naturale, sono costruiti per emettere esclusivamente note armoniche, ossia frequenze multiple intere di una singola nota fondamentale. Quindi questi strumenti suonano secondo la scala naturale; nel corno è possibile correggere l'intonazione delle note inserendo la mano destra nel padiglione dello strumento, tecnica attestata a partire dal 1750 e oggi di uso corrente anche nel corno a pistoni. Nella moderna tromba a pistoni il problema di correggere l'intonazione dalla scala naturale al temperamento equabile si pone per le note meno consonanti col temperamento equabile che si possono però ottenere solo come armonici: vale a dire le note ottenibili con le posizioni sesta e settima (idem per gli altri ottoni), motivo per cui alcuni modelli di tromba includono piccole coulisses addizionali per permettere queste correzioni.

Bibliografia

• Stuart Isacoff, Temperamento. Storia di un enigma musicale, traduzione di Isabella Maria, Torino, EDT, 2005 [2001], ISBN 88-7063-696-8. URL consultato l'11 ottobre 2017.

Voci correlate

• Temperamento (musica)
• Temperamento pitagorico
• Intonazione naturale
• Temperamento del tono medio
• Temperamenti Werckmeister

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Accordatura e Temperamento equabile: di Marco Sicco