Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica

Un'equazione differenziale alle derivate parziali parabolica è un tipo di equazione differenziale alle derivate parziali (EDP) che può essere usata per descrivere diversi problemi scientifici come la diffusione del calore, o la diffusione delle onde sonore in acqua, in sistemi fisici e matematici con variabile temporale e che si comportano come la diffusione del calore all'interno di un solido.

Esempi di EDP paraboliche sono l'equazione del calore e il flusso di Ricci.

Definizione

Una EDP della forma:

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+F=0$

è parabolica se soddisfa la condizione:

$B^{2}-4AC=0$

Questa definizione è analoga a quella di una parabola nel piano in geometria analitica.

Un semplice esempio di EDP parabolica è l'equazione del calore nel caso unidimensionale:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

dove $u(t,x)$ è la temperatura al tempo $t$ e alla posizione $x$, e $k$ è costante.

Il simbolo ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ rappresenta la derivata parziale rispetto al tempo e allo stesso modo ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ è la derivata parziale seconda rispetto a $x$.

Questa equazione stabilisce che la temperatura di un dato punto a un determinato istante crescerà o scenderà con un tasso proporzionale alla differenza tra la temperatura a quel punto e la temperatura media attorno al punto. La quantità $\partial ^{2}u/\partial x^{2}$ indica quanto la temperatura è distante dal soddisfare la proprietà del valor medio delle funzioni armoniche.

Una generalizzazione dell'equazione del calore è:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=Lu$

dove $L$ è un operatore ellittico del second'ordine (ciò implica che $L$ sia anche positivo; il caso in cui $L$ è non-positivo è descritto sotto). Un sistema di questo tipo può essere nascosto in un'equazione della forma

$\nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{T}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)$

se la funzione matriciale $a(x)$ ha un nucleo di dimensione 1.

Soluzione

Le EDP paraboliche di cui si è discusso hanno soluzione per ogni $x$, $y$ e $t>0$. Un'equazione della forma:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=Lu$

si considera parabolica se $L$ è funzione (eventualmente non lineare) di $u$ e delle sue derivate prima e seconda, con altre condizioni su $L$. Con in tale tipo di equazione parabolica non lineare, esistono soluzioni per un periodo di tempo limitato: le soluzioni potrebbero dare luogo a singolarità anche per tempi finiti. La difficoltà dunque è determinare le soluzioni per tutto l'arco temporale, o più generalmente studiare le singolarità che sorgono. Questo è in generale abbastanza difficile, come nella soluzione della congettura di Poincaré attraverso il flusso di Ricci.

Equazioni paraboliche all'indietro

Si potrebbero considerare EDP della forma:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-Lu$

dove $L$ è un operatore ellittico positivo. Questi problemi non sono necessariamente ben posti (le soluzioni potrebbero non esistere o crescere indefinitamente in tempi finiti), essi occorrono studiando la riflessione delle singolarità delle soluzioni a EDP diverse.

Questa classe di equazioni è abbastanza legata alle normali equazioni iperboliche, che possono essere viste semplicemente considerando le cosiddette equazioni del calore all'indietro:

${\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times (0,T)\\u=0&{\textrm {su}}\ \ \partial \Omega \times (0,T)\\u=f&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}\end{cases}}$

Questa è essenzialmente la stessa cosa che avviene per le equazioni iperboliche all'indietro:

${\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times (0,T)\\u=0&{\textrm {su}}\ \ \partial \Omega \times (0,T)\\u=f&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}\end{cases}}$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2010 [1998], 2597943.

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica
• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica

Collegamenti esterni

• (EN) A.P. Soldatov, Parabolic partial differential equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) A.V. Gulin, Parabolic partial differential equation, numerical methods, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.