Spettro essenziale

In matematica, lo spettro essenziale di un operatore limitato è un sottoinsieme dello spettro.

Operatori limitatiModifica

Sia   uno spazio di Banach e   un operatore limitato definito su  . In letteratura vi sono diverse definizioni di spettro essenziale, che non sono equivalenti tra loro (ma coincidono nel caso di un operatore autoaggiunto):

  • Lo spettro essenziale   è l'insieme dei numeri   tali che   non è un operatore semi-Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo o conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
  • Lo spettro essenziale   è l'insieme dei numeri   tali che   non ha immagine chiusa oppure il suo nucleo ha dimensione infinita.
  • Lo spettro essenziale   è l'insieme dei numeri   tali che   non è un operatore di Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo e conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
  • Lo spettro essenziale   è l'insieme dei numeri   tali che   non è un operatore di Fredholm tale che la dimensione del nucleo e del conucleo non siano coincidenti.
  • Lo spettro essenziale   è l'unione di   e tutte le componenti di   che non intersecano l'insieme risolvente  .

Lo spettro essenziale è sempre chiuso, indipendentemente dalla definizione usata, e si ha:

 

Il raggio spettrale dello spettro essenziale è dato da:

 

Lo spettro essenziale di un operatore   è invariante se a   si somma un operatore compatto per k = 1,2,3,4, ma non per k = 5. Il caso k = 4, in particolare, fornisce la parte di spettro che è indipendente dalla perturbazione di un operatore compatto:

 

dove   è l'insieme degli operatori compatti in  .

Operatori limitati autoaggiuntiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore autoaggiunto.

Sia   uno spazio di Hilbert e   un operatore limitato autoaggiunto definito su  . Lo spettro essenziale   di   è l'insieme dei numeri complessi   tali che:

 

non è un operatore di Fredholm. Si tratta sempre di un insieme chiuso che è un sottoinsieme dello spettro, in tal caso contenente solo valori reali data la natura dell'operatore considerato (autoaggiunto).

Se   è un operatore compatto su  , allora lo spettro essenziale di   e   coincidono.

Il criterio di Weyl afferma che   è nello spettro di   se esiste una successione   in   tale che   e:

 

mentre   è nello spettro essenziale se la successione   non contiene nessuna sottosuccessione convergente (questo si verifica, ad esempio, se   è ortonormale e tale successione viene detta successione singolare.

Il complementare dello spettro essenziale di   è lo spettro discreto  :

 

e   se è un autovalore isolato con molteplicità finita, ovvero la dimensione di:

 

è finita e non nulla. Inoltre, esiste un   tale che se e solo se   e   allora  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
  • (DE) H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.

Voci correlateModifica

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