Operatore di Fredholm

In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.

Definizione

Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore $T:X\to Y$ è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato $S:Y\to X$ tale per cui gli operatori:

$\mathrm {Id} _{X}-ST\qquad \mathrm {Id} _{Y}-TS$

sono compatti rispettivamente su $X$ e $Y$.

L'indice $\mathrm {ind} \,T$ di un operatore di Fredholm $T$ è definito come:

$\mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T$

Se l'indice è $\pm \infty$ l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppure conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.

Proprietà

L'insieme degli operatori di Fredholm da $X$ a $Y$ forma un insieme aperto nello spazio di Banach $L(X,Y)$ degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se $T_{0}:X\to Y$ è di Fredholm allora esiste $\epsilon >0$ tale che ogni $T\in L(X,Y)$ che soddisfa $\|T-T_{0}\|<\epsilon$ è di Fredholm e ha lo stesso indice di $T_{0}$.

Se $T$ è un operatore di Fredholm da $X$ a $Y$ e $U$ è di Fredholm da $Y$ a $Z$, allora la composizione $U\circ T$ è di Fredholm da $X$ a $Z$ e si ha:

$\mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T)$

Se $T:X\to Y$ è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto $T':Y'\to X'$ è di Fredholm e $\mathrm {ind} \,T=-\mathrm {ind} (T')$, e ciò vale anche quando $X$ e $Y$ sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).

Se $T$ è un operatore di Fredholm e $K$ è un operatore compatto, allora $T*K$ è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.

Bibliografia

• (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• (EN) A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855 (NB: In this paper the word "Fredholm operator" refers to "Fredholm operator of index 0").
• (EN) Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
• (EN) Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.

Voci correlate

• Conucleo
• Nucleo (matematica)
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Operatore compatto
• Spazio di Banach
• Spettro essenziale
• Teoremi di Fredholm
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

• (EN) Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)
• (EN) Fredholm operator, in PlanetMath.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) C. Foias, Semi-Fredholm operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.